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Non-smooth spacetime geometry
focusing, energy conditions and singualrity theorems
Benedict Schinnerl
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (DissG: Mathematik)
Betreuer*in
Roland Steinbauer
DOI
10.25365/thesis.79382
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29584.48839.818899-1
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Dissertation befasst sich mit den Themen rund um eines der Hauptgebieter der allgemeinen Relativitätstheorie: den Singularitätentheoremen.
In den 1960ern zeigte Roger Penrose, dass unter physikalisch realistischen Bedingungen, welche einen gravitationellen Kollaps wiederspiegeln,
eine generische Raumzeit singulär werden muss und erschuf damit das Gebiet der Singularitätentheoreme.
Kurz darauf bewies Stephen Hawking ein ähnliches Resultat, welches ein sich ausdehnendes Universum modellierte und sagte damit eine initiale Singularität voraus, den Urknall.
Die Allgemeine Relativitätstheorie wandelte sich in den letzten Jahrzehnten von einem hautsächlich durch einen geometrischen Zugang geprägtem Gebiet zu einem PDE orientierten.
Dies führte dazu, dass die Regularität von Raumzeiten mehr Aufmerksamkeit bekam, da in diesem Zugang Lösbarkeit und Regularität
der Einsteingleichungen im Mittelpunkt stehen. Außerdem haben Raumzeiten wie das Oppenheimer-Snyder Modell, "matched spacetimes" und impulsive
Gravitationswellen allesamt Metriken niedriger Regularität, d.h.\ unter $C^2$.
Durch diese Einflüsse sind Resultate der Lorentzgeometrie für nicht glatte Metriken immer mehr von Nöten, insbesondere für $C^{1,1}$ und $C^1$ Differenzierbarkeit.
In dieser Dissertation werden Beweise des Hawking-Penrose als auch (einer Variante) des Gannon-Lee Theorems für $C^1$-Metriken vorgestellt.
Weiters ist ein Resultat über die Kausalität von maximal Nullpseudokonvexen Raumzeiten enthalten.
Singuaritätentheoreme in niedriger Regularität präzisieren die Implikationen ihrer klassichern Vorgänger, da die vorhergesagte Singularität nicht
schlicht durch ein Abfallen der Regularität der Metrik entstehen kann. Es wird somit ausgeschlossen, dass singuläre/unvollständige, glatte Raumzeiten $C^1$-Fortsetzungen haben.
Im Rahmen dieser Arbeit werden Nicht-Verzweigungsbedingungen ("non-branching conditions") definiert. Diese verbieten Verzweigungen von maximierenden Geodäten und haben sich als essentielles
Werkzeug in den Beweisen von Singularitätentheoremen in niedriger Regularität für nicht global hyperbolische Raumzeiten herausgestellt.
Sie ähneln in ihrer Art Nicht-Verzweigungsbedingungen aus der metrischen Geometrie der Längenräume.
Nebenbei wird auch gezeigt, dass jede kausale Maximierende in einer $C^1$-Raumzeit eine $C^2$-Kurve ist.
Letztlich enthält diese Arbeit einen abstrakten Zugang zu distributioneller Krümmung, besondere Aufmerkasmkeit wird dabei dem $C^1$-Fall geschenkt, in welchem die Krümmungsgrößen Distributionen erster Ordnung sind.
Dabei handelt es sich um eine wichtigen Bestandteil im Beweis des Hawking-Penrose Theorems für $C^1$-Metriken.
Abstract
(Englisch)
This thesis deals with the fields surrounding one of the main aspects of general relativity: the singularity theorems.
In the 1960's Roger Penrose brought to live the field of singularity theorems by showing that under physically reasonable conditions, reflecting gravitational collapse, a
generic spacetime must become singular. Shortly thereafter Hawking proved a similar result modelling an expanding universe and thereby predicting an initial singularity, the big bang.
The theory of general relativity over the last decades has shifted from a predominantly geometric point of view to one that is more PDE-centered.
It focuses on the solvability and regularity of the Einstein equations. This, however, has also brought the issue of regularity of the solutions into the foreground.
Furthermore, models like the Oppenheimer-Snyder model, matched spacetimes or impulsive gravitational waves all possess a metric of "low regularity", i.e.\ below $C^2$.
These aspects have created more and more demand for results in Lorentzian geometry
for non-smooth metrics, with particular focus on $C^1$ and $C^{1,1}$ differentiability classes.
In this thesis proofs of the Hawking-Penrose theorem as well as (a generalized version of) the Gannon-Lee theorem for $C^1$-metrics are provided. Moreover a result on causality of
maximally null pseudoconvex spacetimes is given. Singularity theorems in low regularity sharpen the conclusion of the classical theorems, as the predicted singularity cannot just
be the result of a drop in regularity of the metric, hence it excludes scenarios where "smoothly"-singular/incomplete spacetimes would have a $C^1$-extension.
In the course of this work we introduce non-branching conditions. They forbid branching of maximizing geodesics and turned out to be an essential tool
for proving low regularity singularity theorems for non-globally hyperbolic spacetimes. They are similar to non-branching conditions in the metric geometry of length spaces.
Along the way it is also shown that any causal maximizer in a $C^1$-spacetime must be a geodesic and hence a $C^2$-curve.
Lastly the thesis contains an approach to distributional curvature with special attention
to the $C^1$-case, where the curvatures are distributions of order 1. This is an essential ingredient in the proof of the Hawking-Penrose theorem for $C^1$-metrics.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Lorentz Geometrie niedrige Regularität Verzweigung von Geodäten Dsitributionelle Energiebedingungen
Schlagwörter
(Englisch)
Lorentzian geometry low regularity geodeis branching distributional energy conditions Singularity Theorems
Autor*innen
Benedict Schinnerl
Haupttitel (Englisch)
Non-smooth spacetime geometry
Hauptuntertitel (Englisch)
focusing, energy conditions and singualrity theorems
Paralleltitel (Deutsch)
Nicht-glatte Raumzeitgeometrie
Publikationsjahr
2022
Umfangsangabe
83 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Chris Fewster ,
Miguel Sanchez Caja
Klassifikation
31 Mathematik > 31.52 Differentialgeometrie
AC Nummer
AC16687149
Utheses ID
63031
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |