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Probabilistic solutions of the supercooled Stefan problem

Stefan Rigger

Art der Arbeit

Dissertation

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Mathematik

Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)

Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (DissG: Mathematik)

Betreuer*in

Christa Cuchiero

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DOI

10.25365/thesis.72026

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-28850.81266.250784-2

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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)

Abstracts

Abstract

(Deutsch)

Stefan-Probleme beschreiben die zeitliche Entwicklung des Grenzbereichs zwischen zwei Phasen einer Substanz während eines Phasenüberganges. Das Studium solcher Probleme geht auf Lamé und Clapeyron zurück, die im Jahr 1831 die Bildung der Erdkruste zu beschreiben versuchten, sowie auf den namensgebenden Physiker Josef Stefan. Im Fall eines Gefrierprozesses, bei dem die flüssige und feste Phase eines Materials betrachtet wird und die flüssige Phase anfangs unter den Gefrierpunkt abgekühlt ist, wird das entsprechende Problem supercooled Stefan problem genannt. Traditionell wird ein Stefan-Problem als System von partiellen Differentialgleichungen mit freiem Rand formuliert. In der vorliegenden Arbeit betrachten wir sogennante McKean–Vlasov–Gleichungen, eine Klasse von stochastischen Differentialgleichungen die eine Abhängigkeit der Dynamik von der Verteilung der Lösung selbst aufweisen. Die hier betrachteten McKean–Vlasov-Gleichungen treten als Limiten von Partikelsystemen mit singulären Interaktionen auf, die sowohl im Gebiet der systemischen Risikobewertung der Finanzmathematik als auch in der Modellierung neurobiologischer Phänomene natürliche Interpretationen zulassen. Eine Gemeinsamkeit dieser Anwendungsgebiete liegt im Vorkommen unstetiger Schwelleneffekte: aus dem wirtschaftlichen Blickwinkel treten solche Effekte bei Banken auf, deren Kapitalisierungen eine Schwelle unterschreiten und die dadurch zahlungsunfähig werden, aus neurobiologischer Sicht beim Feuern eines Neurons, dessen Membranpotential das Schwellenpotential übersteigt und dadurch ein Aktionspotential auslöst. Eine neue Idee, zurückgehend auf François Delarue, Sergey Nadtochiy und Mykhaylo Shkolnikov, ist es Lösungen des supercooled Stefan problem durch die zugehörige McKean–Vlasov–Gleichung zu definieren, die eine probabilistische Umformulierung des Problems darstellt. Dies lässt es zu, Lösungen global in der Zeit zu definieren, obwohl das zugehörige System von partiellen Differentialgleichungen in endlicher Zeit explodiert. In der vorliegenden Arbeit bauen wir auf diese Idee auf und untersuchen die Lösungskonzepte der minimalen und physikalischen Lösungen, und beweisen dass minimale Lösungen physikalisch sind. Danach beweisen wir die Konvergenz eines effizienten und robusten numerischen Schemas, das es ermöglicht die minimale Lösung im Fall der Explosion der partiellen Differentialgleichung zu approximieren. Abschließend illustrieren wir, wie die vorangehenden Erkenntnisse auf ein Kontrollproblem angewendet werden können, bei welchem die Insolvenz einer bestimmten Proportion von Banken bei minimalen Kosten verhindert werden soll.

Abstract

(Englisch)

Stefan problems describe the evolution of the interface between two phases of a substance undergoing a phase transition. They were first studied in 1831 by Lamé and Clapeyron, who studied the formation of the earth’s crust, and later by the eponymous physicist Josef Stefan. In the case of solidification, i.e., considering the liquid and solid phase of a material and the liquid is initially cooled below its freezing point, one refers to the corresponding problem as a supercooled Stefan problem. Traditionally, Stefan problems are formulated as systems of partial differential equations with free boundaries. Here, we consider so-called McKean–Vlasov equations, a class of stochastic differential equations in which the dynamics depend on the law of the solution. The McKean–Vlasov problems considered here arise as mean-field limits of particle systems with singular interactions that have natural interpretations in the field of systemic risk in mathematical finance and the modeling of neurobiological phenomena. A common feature of these applications is the occurrence of discontinuous threshold effects: from the economic point of view, this corresponds to the triggering of the default of a bank once its equity value goes below a certain threshold, from the neurobiological point of view this corresponds to the firing of a neuron once its membrane potential exceeds the threshold and triggers the action potential. A recent idea, put forth by François Delarue, Sergey Nadtochiy and Mykhaylo Shkolnikov, is to define solutions to the supercooled Stefan problem through the associated McKean–Vlasov equation, which is treated as a probabilistic reformulation that allows to define solutions globally in time even when finite-time blow-up occurs in the corresponding system of partial differential equations. In this work, we expand on this idea and study the solution concepts of minimal and physical solutions, proving that minimal solutions are physical. Next, we prove the convergence of an efficient and robust numerical scheme that allows us to reliably approximate the minimal solution even in the presence of blow-ups. Finally, we illustrate how the preceding insights might be applied to the problem faced by a central bank that aims to prevent the default of a given proportion of banks with minimal costs.

Autor*innen

Stefan Rigger

Haupttitel (Englisch)

Probabilistic solutions of the supercooled Stefan problem

Paralleltitel (Deutsch)

Probabilistische Lösungen des Stefan-Problems mit Supercooling

Publikationsjahr

2022

Umfangsangabe

126 Seiten in verschiedenen Seitenzählungen : Illustrationen

Sprache

Englisch

Beurteiler*innen

Mykhaylo Shkolnikov ,

Ben Hambly

Klassifikationen

31 Mathematik > 31.45 Partielle Differentialgleichungen ,

31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung

AC Nummer

AC16597898

Utheses ID

63562

Studienkennzahl

UA | 796 | 605 | 405 |

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