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Condensation monads in low dimension
Moriz Lothar Frauenberger
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Physik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Physik
Betreuer*in
Nils Carqueville
DOI
10.25365/thesis.72024
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-17977.14847.768365-2
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Manche Systeme von kondensierter Materie zeigen Phasenübergänge, die nicht aufgrund von Symmetriebrechung passieren; sie sind topologisch geordnet. Solche topologische Ordnungen können durch höhere Kategorien beschrieben werden. Um die Kondensation dieser topologischen Materiephasen zu beschreiben, wurde der Begriff von kategorieller n-Kondensation für schwache n-Kategorien modellunabhängig eingeführt. Wir untersuchen diesen im Detail für n = 2. Wir führen 2-Kondensationsmonaden in einer schwachen 2-Kategorie B ein, welche kondensieren können aber nicht müssen. Diese sind eine Kategorifizierung von Idempotenten in einer Kategorie, welche spalten können aber nicht müssen. Wenn in allen hom-Kategorien von B alle Idempotenten spalten, können wir ihre 2-KaroubiVervollständigung Kar(B) konstruieren, bestehend aus den 2-Kondensationsmonaden von B und deren 2-Kondensationsbimoduln. Diese verallgemeinert die Karubi-Vervollständigung einer normalen Kategorie: alle 2-Kondensationsmonaden von Kar(B) kondensiern und B und Kar(B) sind 2-äquivalent, falls in B bereits alle 2-Kondensationsmonaden kondensieren. Wir zeigen, dass Kar(B) 2-äquivalent zur 2-Kategorie nicht-unitaler, nicht-kounitaler spezieller Frobenius-Algebren, spezieller Frobenius-Bimoduln und Bimodulabbildungen ist. Weiters besprechen wir unitale und kounitale 2-Kondensationsmonaden, die eine 2-Kategorie bilden, welche zur bekannten 2-Kategorie Frob∆(B) spezieller FrobeniusAlgebren, Bimoduln und Bimodulabbildungen 2-äquivalent ist. Letztlich zeigen wir, dass, falls in B alle 1-Morphismen Adjungierte haben, Kar(B) und Frob∆(B) 2-äquivalent sind.
Abstract
(Englisch)
Some systems of condensed matter show phase transitions which are not due to symmetry breaking; they are topologically ordered. Such topological orders can be described by higher categories. To account for condensation of these topological phases of matter, the notion of categorical n-condensation was defined model independently for weak n-categories. We develop this in detail for n = 2. We introduce 2-condensation monads in a weak 2-category B, which may or may not condense, as categorification of idempotents in a category, which may or may not split. If in all hom-categories of B all idempotents split, we are able to construct its 2-Karoubi completion Kar(B) consisting of the 2-condensation monads of B and 2-condensation bimodules between them. It generalizes the Karoubi completion of an ordinary category: all 2-condensation monads of Kar(B) condense, and B and Kar(B) are 2-equivalent if in B already all 2-condensation monads condense. We show that Kar(B) is 2-equivalent to the 2-category of nonunital, noncounital ∆-separable Frobenius algebras, special Frobenius bimodules and bimodule maps. We also discuss unital and counital 2-condensation monads which similarly form a 2-category which is 2-equivalent to the well known 2-category Frob∆(B) of ∆- separable Frobenius algebras, bimodules and bimodule maps. Finally, we show that if in B all 1-cells have adjoints, then Kar(B) and Frob∆(B) are 2-equivalent.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Topologische Materiephasen topologische Ordnung höhere Kategorientheorie Bikategorien n-Kondensation Kondensationsmonaden verallgemeinerte Idempotente Karoubi-Vervollständigung
Schlagwörter
(Englisch)
Topological phases of matter topological order higher category theory bicategories n-condensation condensation monads generalized idempotents Karoubi completion
Autor*innen
Moriz Lothar Frauenberger
Haupttitel (Englisch)
Condensation monads in low dimension
Paralleltitel (Deutsch)
Kondensationsmonaden in niedriger Dimension
Publikationsjahr
2022
Umfangsangabe
105 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Nils Carqueville
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.27 Kategorientheorie ,
33 Physik > 33.79 Kondensierte Materie: Sonstiges
AC Nummer
AC16597819
Utheses ID
63952
Studienkennzahl
UA | 066 | 876 | |