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Elliptic combinatorics of lattice paths, domino tilings and rook placements

Josef Küstner

Art der Arbeit

Dissertation

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Mathematik

Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)

Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (DissG: Mathematik)

Betreuer*in

Michael Schlosser

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DOI

10.25365/thesis.73260

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-10278.30676.798430-7

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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)

Abstracts

Abstract

(Deutsch)

Michael Schlosser veröffentlichte 2007 einen Artikel, in dem gewichtete Gitterpunktwege abgezählt werden und die Gewichte elliptische Funktionen sind. Eine gewichtete Abzählung solcher Wege führt zu einer Identität, die äquivalent zu einer fundamentalen Formel aus dem Bereich der elliptischen hypergeometrischen Reihen ist und von Frenkel und Turaev 1997 in einem anderen Zusammenhang entdeckt wurde. Elliptische hypergeometrische Reihen verallgemeinern auf natürliche Weise gewöhnliche hypergeometrische Reihen, die auf Newton und Gauß zurückgehen, und q-hypergeometrische Reihen, die von Heine eingeführt wurden. Explizit kamen elliptische hypergeometrische Reihen zum ersten Mal in den späten 1980er Jahren in einer Arbeit aus dem Bereich der mathematischen Physik vor. Seit Frenkel und Turaevs Arbeit zu diesem Thema entwickeln viele Wissenschaftler*innen diese Theorie, welche die Theorie der Thetafunktionen mit der Theorie der q-hypergeometrischen Reihen verbindet, weiter. Da q-hypergeometrische Reihen viele Anwendungen in den Bereichen der Zahlentheorie, statistischen und mathematischen Physik und in der Kombinatorik haben, stellt sich die Frage, ob sich diese Anwendungen auch auf den elliptischen Fall übertragen. Beginnend mit Schlossers Arbeit von 2007 haben vor diesem Hintergrund in den vergangenen Jahren verschiedene Autor*innen elliptische Analoga von kombinatorischen Modellen und speziellen kombinatorischen Zahlen studiert. In der vorliegenden Dissertation schließen wir uns dieser Aufgabe an, elliptische Verallgemeinerungen von kombinatorischen Modellen zu finden, und untersuchen elliptische Binomialkoeffizienten mit ganzzahligen Einträgen, elliptische Fibonomialkoeffizienten und elliptische Stirling-, Lah- und Rook-Zahlen. Wir führen passende kombinatorische Modelle und elliptische Gewichtsfunktionen ein. Wenn es möglich ist, verallgemeinern wir die elliptischen Gewichte sogar noch weiter und präsentieren allgemeine gewichtsabhängige Analoga von kombinatorischen Modellen und Zahlen.

Abstract

(Englisch)

In 2007, Michael Schlosser published an article in which lattice paths and nonintersecting nests of lattice paths where counted with respect to an elliptic weight function assigned to the paths. A convolution of paths leads to an identity equivalent to a fundamental summation formula for elliptic hypergeometric series discovered, in a different setting, by Frenkel and Turaev in 1997. These series form a natural generalization of ordinary hypergeometric series, which date back to Newton and Gauß and basic hypergeometric series, which date back to Heine. Elliptic hypergeometric series made their first explicit appearance in the late 1980’s in the work of mathematical physicists and since Frenkel and Turaev’s work, various researchers started to develop a yet expanding theory, which combines the theory of theta functions with the theory of basic hypergeometric series, even further. Basic hypergeometric series have many applications in number theory, statistical and mathematical physics and combinatorics and it appears natural to wonder if these applications also extend to elliptic hypergeometric series. In this context, several authors studied elliptic analogues of combinatorial models and combinatorial special numbers in the past few years. In this thesis we contribute to the general task of finding elliptic analogues of combinatorial models by studying elliptic binomial coefficients with integer values, elliptic Fibonomial numbers and elliptic Stirling numbers, Lah numbers and rook numbers. We introduce appropriate combinatorial models and elliptic weight functions. Whenever possible, we generalize the elliptic weights even further and present general weight-dependent analogues of combinatorial models and special numbers. the work of mathematical physicists and since Frenkel and Turaev’s work, various researchers started to develop a yet expanding theory, which combines the theory of theta functions with the theory of basic hypergeometric series, even further. Basic hypergeometric series have many applications in number theory, statistical and mathematical physics and combinatorics and it appears natural to wonder if these applications also extend to elliptic hypergeometric series. In this context, several authors studied elliptic analogues of combinatorial models and combinatorial special numbers in the past few years. In this thesis we contribute to the general task of finding elliptic analogues of combinatorial models by studying elliptic binomial coefficients with integer values, elliptic Fibonomial numbers and elliptic Stirling numbers, Lah numbers and rook numbers. We introduce appropriate combinatorial models and elliptic weight functions. Whenever possible, we generalize the elliptic weights even further and present general weight-dependent analogues of combinatorial models and special numbers.

Autor*innen

Josef Küstner

Haupttitel (Englisch)

Elliptic combinatorics of lattice paths, domino tilings and rook placements

Paralleltitel (Deutsch)

Elliptische Kombinatorik von Gitterpunktwegen, Dominoparkettierungen und Turmplatzierungen

Publikationsjahr

2022

Umfangsangabe

xi, 93 Seiten : Illustrationen

Sprache

Englisch

Beurteiler*innen

Masatoshi Noumi ,

Jiang Zeng

Klassifikation

31 Mathematik > 31.12 Kombinatorik, Graphentheorie

AC Nummer

AC16804503

Utheses ID

64115

Studienkennzahl

UA | 796 | 605 | 405 |

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