Detailansicht
On PDE models for transportation networks
Giulia Pilli
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (DissG: Mathematik)
Betreuer*innen
Peter Markowich ,
Christian Schmeiser
DOI
10.25365/thesis.72884
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-11327.46134.896168-1
Link zu u:search
(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
In dieser Arbeit behandeln wir Netzwerkstrukturen in biologischen Systemen. Wir untersuchen, wie sich eine Flüssigkeit in einem porösen Medium verhält, welches die Intensität und Fließrichtung beeinflusst. Das Verhalten der Flüssigkeit wird durch den sogenannten Permeabilitätstensor bestimmt, dessen Wirkung auf den Gradienten des Druckes die Richtung des Flusses bestimmt. Der Permeabilitätstensor hängt normalerweise von der Konduktivität des Mediums ab, welche beschreibt, wie einfach es für die Flüssigkeit ist, in einem Punkt zu fließen und was die beste Richtung dafür ist. Zuerst demonstrieren wir Murray’s Gesetz für ein diskretes Modell mit einem allgemeinen metabolischen Koeffizienten und verallgemeinern es dann für ein kontinuierliches System durch Grenzwertbildung des diskreten Modells auf einem rechteckigen Gitter. Danach reinterpretieren wir Murray’s Gesetz für die stationären Zustände eines kontinuierlichen Systems, das durch phänomenologische Überlegungen motiviert wird. In der Arbeit untersuchen wir außerdem ein kontinuierliches Modell, das auch die Evolution des Permeabilitätstensors als einen formalen L2-Gradientenflusses eines Energiefunktionals, das aus einem Diffusionsterm, einem metabolischen sowie einem kinetischen Term besteht, berücksichtigt. Wir werden auch hier die stationären Zustände und die Konvexität diskutieren. Weiters präsentieren wir eine formale Herleitung dieses Systems in zwei Dimensionen als Limes des diskreten Netzwerkmodells, das auf einer unstrukturierten Triangulation definiert ist, indem die Länge der Kanten gegen Null geht. Als letztes präsentieren wir die ersten Resultate einer noch nicht finalisierten Arbeit, in der wir eine Energie für die skalare Konduktivität betrachten, die eine diffusen, einen kinetischen und einen metabolischen Term aufweist. Insbesondere hoffen wir, die Existenz einer Γ-Konvergenz in diesem Fall zeigen zu können.
Abstract
(Englisch)
In this thesis we study the formation of network structures in biological systems. To be more precise, we consider a fluid moving through a porous medium, which influences the movement of the fluid both in direction and intensity. The flux of the fluid is governed by the so-called permeability tensor, whose action on the gradient of the pressure gives the direction of the flux. The permeability tensor usually depends on the conductivity of the medium, which describes how easy it is for the fluid to move in a point and what is the best direction to do so. We first demonstrate Murray’s law for a discrete model with general metabolic coefficient and then generalise the law for a continuous system, which was obtained from the continuous limit of the discrete model on a rectangular mesh. We proceed by reinterpreting Murray’s law for the steady states of a vector model, derived from phenomenological considerations. As a next step, we study a continuous model which takes into consideration the evolution of the permeability tensor as a formal L2-gradient flow of an energy functional, consisting of a diffusion term, a metabolic and a kinetic term. We investigate its convexity and the properties of the steady states. Moreover, we present a formal derivation of this system in two dimensions as a limit of the discrete network model defined on an unstructured triangulation as the maximal length of the edges goes to zero. Lastly, we present the first results of a work in progress, which considers an energy for a scalar conductivity that contains a diffusive term, a kinetic part and a metabolic one. In particular, we aim to prove the existence of a Γ-limit for this energy, as the diffusion coefficient goes to zero.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Energiedissipation Biologische Netzwerkbildung Gradientenfluss Tensor-PDE-Modell Kontinuumsgrenze Murrays Gesetz Gamma-Konvergenz
Schlagwörter
(Englisch)
Energy dissipation Biological network formation Gradient flow tensor PDE model continuum limit Murray’s law Gamma-convergence
Autor*innen
Giulia Pilli
Haupttitel (Englisch)
On PDE models for transportation networks
Paralleltitel (Deutsch)
Über PDE Modelle von Transportnetzwerken
Publikationsjahr
2022
Umfangsangabe
x, 85 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Giovanni Russo ,
Athanasios Tzavaras
Klassifikation
31 Mathematik > 31.45 Partielle Differentialgleichungen
AC Nummer
AC16733108
Utheses ID
64323
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |