Detailansicht
Rook-theory and generalisations
Moritz Gangl
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Michael Schlosser
DOI
10.25365/thesis.72273
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-24335.47537.239122-7
Link zu u:search
(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
In der Geschichte der Mathematik entwickelte sich das Interesse an den rook- und file-Zahlen im Zuge der Untersuchungen der hit- und fit- Zahlen. Ich wähle allerdings einen anderen Ansatz. Im Kapitel 1.2 werden wir einen eher spielerischen Zugang, über Schach und einfache Graphentheorie, zu den rook- und file-Zahlen schaffen, der gleichzeitig auch Motivation für die folgenden Untersuchungen sein soll. Diese alternative Herangehensweise erlaubt es uns, die Objekte von Interesse im zweiten Teil 2 eines nach dem anderen einzuführen, anstatt sie alle geblockt zu definieren, wie es oftmals in der Literatur gemacht wird. Anschließend werden wir die Verbindungen dieser Objekte untersuchen und dabei auf einige Resultate von großen Mathematikern der Vergangenheit stoßen. Wir beginnen diesen Abschnitt mit Untersuchungen der rook-Zahlen und einiger ihrer Eigenschaften im Abschnitt 2.1.1. Geleitet von einem Beispiel, entdecken wir die hit-Zahlen und ihre Verbindung zu den rook-Zahlen im Abschnitt 2.1.2. Im Abschnitt 2.2.1 imitieren wir unsere Herangehensweise an die rook-Zahlen, um die file-Zahlen näher zu untersuchen. Im Abschnitt 2.2.2 wird uns erneut ein Beispiel zur Entdeckung der fit-Zahlen und ihrer Verbindung zu den file-Zahlen führen. Wir schließen den zweiten Teil dieser Arbeit mit 2.3, einem Kapitel über weitere Rekursionsformeln und erzeugende Funktionen der rook, file-, hit- und fit- Zahlen. Trotz all dieser Verbindungen, sind die rook- und file-Zahlen auch interessante mathematische Objekte, ohne die hit- und fit-Zahlen zu betrachten. Ein Grund dafür ist, dass sie Verallgemeinerungen einiger kombinatorischer Zahlen, wie etwa der Stirling- oder Lah-Zahlen, darstellen. Wir werden dies in den Beispielen 2.5 & 2.26 genauer untersuchen. Im dritten Teil der Arbeit 3, finden wir einen weiteren Grund dafür, dass ich diesen Ansatz für die ersten Teil gewählt habe. Es gibt nämlich noch keine gewichtete Verallgemeinerung der hit- und fit-Zahlen im allgemeinsten Sinn. Da das eigentliche Ziel dieses zweiten Abschnitts jedoch die Verallgemeinerung der Resultate des ersten Teils auf das gewichtete Level ist, dachte ich, dass dies die sinnvollste Herangehensweise sei. Im Kapitel 3.1 besprechen wir nun zunächst das Konzept der Gewichte und die Hierarchie dieser, bevor wir die gewichteten rook- und file-Zahlen im Abschnitt 3.2 einführen. In den beiden Abschnitten 3.3 & 3.4 gelingt es uns, nahezu alle Resultate aus den vorherigen Abschnitten 2.1.1, 2.2.1, 2.1.3, 2.3.2 & 2.3.5 auf den gewichteten Fall zu verallgemeinern. Wir erschaffen somit eine neue, gewichtete rook- und file- Theorie, im Stil ähnlich zu Resultaten von J. Küstner, M. J. Schlosser und M. Yoo zu Gitterpunktwegen, wie etwa in [15], [16] and [10]. Wir verallgemeinern damit frühere Resultate von A. M. Garsia und J. B. Remmel aus [8], sowie von M. J. Schlosser und M. Yoo aus [9]. Zu guter Letzt, versuchen wir uns an einer Erklärung der Schwierigkeiten bei der Verallgemeinerung von hit- und fit-Zahlen und geben einen Ausblick auf weitere interessante, offenen Probleme in Kapitel 3.5.
Abstract
(Englisch)
Historically the interest in rook- and file-numbers arose, when researchers tried to get a grip on the hit- and fit-numbers. Instead of following this approach, we will motivate the definitions to come, in a rather simplistic and playful fashion in chapter 1.2, using the game of chess and some basic graph theory. This will allow is to introduce the objects of interest one after another in part 2, instead of having to define them all at once, in order to understand their connections. Nevertheless those connections between them, discovered by big names from the past, will be very important and some of our main theorems in part 2. This part will start by examining the rook- numbers closer in section 2.1.1 and observing some important properties. Led by an example, we will encounter the hit-numbers and their connection to the rook-numbers in section 2.1.2. Afterwards, we will imitate our approach to the rook-numbers in order to investigate the file-numbers in section 2.2.1. Again led by an example, we will peal out their connection to the fit-numbers in section 2.2.2. We close the section on the classical theory with 2.3, a chapter on further recursion-formulae and generating functions for rook-, file-, hit- and fit-numbers. Still, the rook- and file-numbers are very interesting objects on their own without having to consider the hit- and fit-numbers. One reason for that is, that they generalise some of the special combinatorial numbers, like for example the Stirling- or Lah- numbers as seen in the Examples 2.5 & 2.26. This is also one aspect the thesis will focus on in the later sections of part 3. I also chose this structure for the thesis, since there do not exist weighted analogues of the Hit- and fit-numbers in the most general setting. Since the idea of this thesis is generalising the basic theory, I thought that this path is the most promising one. In part 3 we will first discuss the concept of weights and the inherent weight hierarchy in chapter 3.1, before we introduce the weighted rook- and file-numbers in chapter 3.2. We manage to generalise nearly all of the results from the sections 2.1.1, 2.2.1, 2.1.3, 2.3.2 & 2.3.5 to the weighted setting in the chapters 3.3 & 3.4, thereby creating a new weighted rook- and file-theory, generalising earlier results of A. M. Garsia and J. B. Remmel from [8] as well as M. J. Schlosser and M. Yoo from [9]. This is similar in style to results of J. Küstner, M. J. Schlosser and M. Yoo on lattice paths as in [15], [16] and [10]. Last but not least, we explain some problems arising with weighted hit- and fit-numbers and give an outlook on further interesting questions in chapter 3.5.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Rook-Theorie File-Theorie gewichtete Kombinatorik elliptische Kombinatorik symmetrische Funktionen
Schlagwörter
(Englisch)
Rook-Theory File-Theory weighted Combinatorics elliptic Combinatorics symmetric functions
Autor*innen
Moritz Gangl
Haupttitel (Englisch)
Rook-theory and generalisations
Paralleltitel (Deutsch)
Rook-Theorie und Verallgemeinerungen
Publikationsjahr
2022
Umfangsangabe
iii, 98 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Michael Schlosser
Klassifikation
31 Mathematik > 31.12 Kombinatorik, Graphentheorie
AC Nummer
AC16608463
Utheses ID
64472
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |