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Norm-controlled inversion in l^1: a support-dependent theorem and applications
Stefan Egger
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
José Luis Romero
Mitbetreuer*in
Felipe Marceca
DOI
10.25365/thesis.73276
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-15482.96147.675536-9
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Ziel dieser Arbeit ist es, das Problem von Inversion mit Normkontrolle in l^1(Z,∗) zu beleuchten. In den späten Neunzigerjahren zeigten El-Fallah, Nikolski und Zarrabi, dass die 1-Norm einer Folge a und eine untere Abschätzung der dazugehörigen Fourierreihe nicht genug sind, um die 1-Norm von a^(−1) zu kontrollieren. Selbiges funktioniert jedoch, wenn man die Norm mit einem genügend schnell wachsenden Gewicht versieht. Im ungewichteten Fall bewiesen El-Fallah, Nikolski und Zarrabi eine untere Schranke für das Wachstum der Inversen, welche beliebig groß wird, wenn die Anforderung an die zugehörige Fourierreihe zu schwach ist. Wir verallgemeinern diese untere Schranke, indem wir auch den Träger der involvierten Folge berücksichtigen. Eine Anwendung dieser neuen Abschätzung liefert eine untere Schranke für das Wachstum der Inversen in einem gewichteten Fall, die nicht aus den Argumenten von El-Fallah, Nikolski and Zarrabi folgt. Weiters transferieren wir die Resultate zur verdrehter Faltung, einer Struktur, die für das Gebiet der Zeit-Frequenz-Analyse von großer Bedeutung ist. Damit können wir unsere Resultate auch auf die Theorie der Gabor-Analyse anwenden. Wir zeigen dort, dass es im Allgemeinen nicht möglich ist, die M^1-Norm eines dualen Fensters mit der M^1-Norm des ursprünglichen Fensters und den Schranken des aufgespannten Frames beziehungsweise der aufgespannten Riesz-Folge zu kontrollieren.
Abstract
(Englisch)
The aim of this thesis is to investigate the problem of norm-controlled inversion in l^1(Z, ∗). In the late nineties, El-Fallah, Nikolski and Zarrabi showed that the 1-norm of a sequence a and a lower bound on its Fourier series are not enough to control the norm of a^1, contrary to the weighted case where it is indeed possible to do so assuming that the weight grows sufficiently fast. They provide a lower bound for the norm of the inverses which implies a blowup if the condition on the Fourier series is too weak. We generalize this lower bound by also taking the support of the involved sequences into account. This new estimate will be applied to some weighted setting which yields a lower bound for the growth of the inverses that does not follow from the arguments of El-Fallah, Nikolski and Zarrabi. Moreover, we transfer their result to the twisted convolution algebra, a structure being very prominent in the field of time-frequency analysis. An application of this result to the theory of Gabor analysis yields that in general the M^1-norm of a dual window cannot be controlled by the M^1-norm of the window itself and the corresponding Riesz sequence or frame bounds.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Funktionalanalysis Harmonische Analysis Banachalgebren Gabor Analysis
Schlagwörter
(Englisch)
Functional analysis Harmonic analysis banach algebras Gabor analysis
Autor*innen
Stefan Egger
Haupttitel (Englisch)
Norm-controlled inversion in l^1: a support-dependent theorem and applications
Paralleltitel (Deutsch)
Inversion mit Normkontrolle in l^1: ein trägerabhängiges Theorem und Anwendungen
Publikationsjahr
2022
Umfangsangabe
97 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
José Luis Romero
AC Nummer
AC16805381
Utheses ID
65214
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |