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Das Delische Problem der Würfelverdopplung
eine historisch-algebraisch-didaktische Betrachtung
Magdalena Hollerweger
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Lehramtsstudium Master UF Musikerziehung UF Mathematik
Betreuer*in
Günther Hörmann
DOI
10.25365/thesis.72817
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-21236.12064.195315-7
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Das Delische Problem der Würfelverdopplung beschäftigt die Mathematik schon seit sehr langer Zeit. Die zunächst sehr einfach klingende Fragestellung, ob es möglich ist einen Würfel mit euklidischen Mitteln zu konstruieren, der das doppelte Volumen eines gegebenen Würfels aufweist, konnte jedoch bis ins 19. Jahrhundert nicht eindeutig bewiesen beziehungsweise widerlegt werden. Der Ursprung geht dabei ins antike Griechenland zurück, wo sich ab etwa 400 v. Chr. die wohl zu der Zeit wichtigsten Mathematiker aus Platons Akademie damit beschäftigten und auch bereits einige mechanische Lösungsansätze zur Lösung des Problems liefern konnten. Im Verlauf der Geschichte bearbeiteten das Problem der Würfelverdopplung sowohl zahlreiche namhafte Mathematiker*innen als auch, aufgrund der vermeintlich einfachen Fragestellung, Laien. Im 19. Jahrhundert schaffte schließlich der französische Mathematiker Pierre Laurent Wantzel als erster eine algebraische Widerlegung der Fragestellung des Delischen Problems. Zwar gab und gibt es immer wieder alternative Lösungen (beispielsweise mechanisch) um eine Würfelverdopplung zu erhalten, mathematisch gesehen ist die Lösung des Delischen Problems mit euklidischen Mitteln aber nicht möglich. Betrachtet man den algebraischen Widerspruchsbeweis, dass die Länge der Zahl ∛2 nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, geht man zunächst von den grundlegendsten algebraischen Strukturen aus, nämlich Ringe und Körper. Durch Körpererweiterung wird der Körper der mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Punkte gebildet. Dadurch kann man feststellen, dass die Zahl ∛2 nicht im Körper der mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Punkte liegt und somit nicht konstruierbar ist. Das heißt, eine Würfelverdopplung mit euklidischen Mitteln, wie sie im Delischen Problem dargelegt wird, ist nicht möglich. Um das Delische Problem auch im Kontext des mathematischen Schulunterrichts thematisieren zu können, bietet sich neben der historischen Entwicklung des Problems auch eine didaktische Umsetzung der Lösung des Problems der Würfelverdopplung mittels Origamics an. Dabei kann die Zahl ∛2 durch Anwendung von Origami-Faltungen erhalten werden und mit einfachen geometrischen und rechnerischen Zusammenhängen der Beweis dazu gegeben werden. Somit liefert diese Abhandlung des Delischen Problems in Form einer Masterarbeit neben dem detaillierten fachmathematischen algebraischen Widerspruchsbeweis auch einen Überblick über die historische Entstehung und Entwicklung des Problems und Ideen für die Thematisierung des Problems der Würfelverdopplung im schulmathematischen Kontext.
Abstract
(Englisch)
The doubling of the cube has occupied mathematics for a very long time. The initially very simple-sounding question of whether it is possible to construct a cube that has twice the volume of a given cube by Euclidean means, could not be clearly proven or disproven until the 19th century. The origin of this problem goes back to ancient Greece, where the most important mathematicians of the time from Plato's Academy began to work on solving that problem and at around 400 years BC they were already able to provide some mechanical approaches to solve it. In the course of history the supposedly simple problem of doubling the cube was then also worked on by numerous renowned mathematicians as well as by laymen. In the 19th century the French mathematician Pierre Laurent Wantzel was the first to produce an algebraic refutation of the Delian problem. So even if there have always been alternative solutions to obtain the doubling of the cube, as for example mechanical ones, from a mathematical point of view the solution of the Delian problem is not possible by Euclidean means. If one considers the algebraic proof of contradiction which says that the length of the number ∛2 cannot be constructed by compass and ruler only, one should first start with the most basic algebraic structures, namely rings and fields. Through field extension, the field of the constructible points with compass and ruler is formed. By these means one can determine that the number ∛2 does not lie in the field of the points that can be constructed with compass and ruler and thus cannot be constructed. This means that the doubling of a cube with Euclidean means, as presented in the Delian problem, is not possible. In order to be able to address the doubling of the cube in the course of regular mathematical school lessons, a didactic implementation of the solution of the problem of doubling a cube could be reached by means of Origamics, however. In this case the number ∛2 can be obtained through origami folds and the proof can be given by simple geometric and mathematical connections. All in all, this master's thesis provides the detailed mathematical algebraic proof as well as an overview of the historical development of the problem and ideas how to make the doubling of the cube a topic in the context of regular school mathematics.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Würfelverdopplung Origamics Delisches Problem klassische Konstruktionsprobleme
Schlagwörter
(Englisch)
doubling of the cube Delian Problem Origamics
Autor*innen
Magdalena Hollerweger
Haupttitel (Deutsch)
Das Delische Problem der Würfelverdopplung
Hauptuntertitel (Deutsch)
eine historisch-algebraisch-didaktische Betrachtung
Publikationsjahr
2022
Umfangsangabe
53 Seiten : Illustrationen
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Günther Hörmann
AC Nummer
AC16711667
Utheses ID
65464
Studienkennzahl
UA | 196 | 070 | 057 | 02