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Hopf bifurcations and delayed feedback mechanisms in mathematical models of gene expression with periodic behaviour
Lena Reitinger
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Lehramt Sek (AB) UF Mathematik UF Spanisch
Betreuer*in
Christian Schmeiser
DOI
10.25365/thesis.73041
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-23226.45396.993181-1
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
In der vorliegenden Masterarbeit werden zwei einfache Modelle von Genexpression im Kontext von zirkulären Prozessen (zirkadiane Rhythmen und Zellzyklus) untersucht. Beide Modelle beinhalten retardierte Differentialgleichungen sowie Feedbackmechanismen. Die behandelten Fragen sind, ob diese Modelle periodisches Verhalten der vereinfachten biologischen Systeme abbilden können und welche mathematischen Elemente dabei wesentlich sind. Zunächst wird ein Modell eines einzelnen periodisch exprimierten Gens aus der Literatur analysiert. Retardierte Feedbackmechanismen sowie Hopf-Bifurkationen bei destabilisierten Fixpunkten kristallisieren sich dabei als Schlüsselelemente für periodisches Verhalten heraus. In weiterer Folge wird ein Modell von der abwechselnden Exprimierung zweier Gene im Laufe des Zellzyklus aufgestellt und analysiert. Dabei wird ein Teil des Telegraph-Modells um Verzögerungsparameter und einen Faktor zum Limitieren der Genprodukt-Konzentrationen ergänzt. Die Analyse beinhaltet die Linearisierung um einen Gleichgewichtspunkt sowie eine Stabilitäts- und Bifurkationsanalyse. Die Ergebnisse deuten auf eine Hopf-Bifurkation hin, allerdings nur unter nicht erfüllbaren Bedingungen für die Parameter des Modells. Daher wurde das Modell weiterentwickelt, sodass es letztendlich das erwartete periodische Verhalten in den Simulationen, die mithilfe von Wolfram Mathematica erstellt werden, zeigt.
Abstract
(Englisch)
In this Master's thesis, two simple mathematical models of gene expression in the context of circular processes (circadian rhythms and the cell cycle) are examined. Both include delay differential equations and feedback mechanisms. The main questions addressed are whether the models reproduce periodic behaviour of the simplified biological system and which mathematical elements are decisive when they do. First, a model of a single periodically expressed gene which has been taken from the literature is analysed. Here, delayed feedback mechanisms as well as Hopf bifurcations at destabilised equilibrium points can be highlighted as key properties for periodic model behaviour. Second, a model of the alternation of two gene products during the cell cycle is constructed by adapting the telegraph model. In particular, delay parameters and a factor to limit the increase in gene product concentration are introduced. A mathematical analysis including linearisation about a nonzero equilibrium point, stability and bifurcation analysis indicates the occurrence of a Hopf bifurcation, but under conditions for parameters which cannot be fulfilled. After refinement, the model shows the expected periodic behaviour in numerical simulations carried out with Wolfram Mathematica.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Hopf Bifurkationen Genexpression mathematische Modelle retardierte Differentialgleichungen
Schlagwörter
(Englisch)
Hopf bifurcations gene expression mathematical models delay differential equations
Autor*innen
Lena Reitinger
Haupttitel (Englisch)
Hopf bifurcations and delayed feedback mechanisms in mathematical models of gene expression with periodic behaviour
Paralleltitel (Deutsch)
Hopf Bifurkationen und verzögerte Feedbackmechanismen in mathematischen Modellen von Genexpression mit periodischem Verhalten
Publikationsjahr
2023
Umfangsangabe
x, 65 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Christian Schmeiser
Klassifikation
31 Mathematik > 31.80 Angewandte Mathematik
AC Nummer
AC16763938
Utheses ID
65869
Studienkennzahl
UA | 199 | 520 | 529 | 02