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On optimal blowup stability for nonlinear wave equations
David Wallauch
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (DissG: Mathematik)
Betreuer*in
Roland Donninger
DOI
10.25365/thesis.73405
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-10343.63387.397674-5
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Das Entstehen von Singularitäten in endlicher Zeit ist ein wichtiges Merkmal vieler partieller Differentialgleichungen, insbesondere von Wellengleichungen. In dieser Arbeit untersuchen wir corotational Wave Maps in die Sphäre sowie Wellengleichungen mit einer Potenz-Nichtlinearität. Beide Gleichungen weisen Lösungen auf, die von glatten Daten mit kompaktem Träger ausgehen und aus welchen sich in endlicher Zeit Blowups entwickeln. Außerdem sind in beiden Fällen Lösungen dieser Art in geschlossener Form bekannt. Wir beweisen und wenden die notwendigen Werkzeuge an, um die Stabilität dieser Lösungen in der optimalen Regularitätsklasse an inhomogenen Sobolev-Räumen zu etablieren. Die Doktorarbeit selbst besteht aus drei separaten Arbeiten, die chronologisch geordnet sind, und beginnt mit einer allgemeinen Einführung. Dann wenden wir uns der $(1+4)$-dimensionalen Wave Maps Gleichung zu, wo wir die Stabilität eines explizit bekannten selbstähnlichen Blowups im Rückwärtslichtkegel des Blowuppunktes beweisen. Im Kern dieses Ergebnisses steht die Herleitung von Strichartz-Abschätzungen für eine radiale Wellengleichung mit einem selbstähnlichen Potential in Ähnlichkeitskoordinaten. Danach leiten wir ähnliche Strichartz-Abschätzungen auf der H^1-Ebene in allen Raumdimensionen $d\geq 4$ her. Diese werden dann verwendet, um ein ähnliches optimales Stabilitätsergebnis für den sogenannten ODE-Blowup in den Raumdimensionen $4\leq d \leq 6$ zu beweisen. Das letzte Kapitel befasst sich mit dem gleichen Problem wie die erste enthaltene Arbeit, jedoch in 3 statt 4 Raumdimensionen. Dies erfordert neue abstrakte Argumente bei der Analyse der Gleichung, da der kritische L^2-basierte Sobolev-Raum von gebrochener Ordnung ist.
Abstract
(Englisch)
Finite time singularity formation is a prominent feature among many partial differential equations, in particular among wave equations. In this thesis, we study corotational wave maps into the sphere as well as wave equations with a power nonlinearity. Both of these equations exhibit solutions which start from smooth compactly supported data and develop finite time blowup. Moreover, in both instances, such solutions are known in closed form. We prove and employ the necessary tools to establish the stability of these solutions in the optimal regularity class in terms of inhomogeneous Sobolev spaces. The thesis itself, which is comprised of three separate works ordered chronologically, begins with a general introduction. Then, we turn to the (1+4) dimensional wave maps equation, where we prove the stability of an explicitly known self similiar blowup in the backward lightcone of the blowup point under corotational perturbations. At the heart of this result lies the derivation of Strichartz estimates for a radial wave equation with a self similar potential in similarity coordinates. After this, we derive similar Strichartz estimates on the H^1 level in all space dimensions $d\geq 4$. These are then used to prove a similar optimal stability result for the so-called ODE blowup in space dimensions $4\leq d \leq 6$. The last chapter is concerned with the same problem as the first included work, but in 3 instead of 4 spatial dimensions. This necessitates new abstract arguments in the analysis of the equation, as the critical L^2 based Sobolev space is of fractional order
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Wellengleichungen Strichartz Abschätzungen Blowup Stabilität
Schlagwörter
(Englisch)
Wave equations Strichartz estimates Blowup stability
Autor*innen
David Wallauch
Haupttitel (Englisch)
On optimal blowup stability for nonlinear wave equations
Paralleltitel (Deutsch)
Über die optimale Blowup Stabilität bei nichtlinearen Wellengleichungen
Publikationsjahr
2023
Umfangsangabe
237 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Sebastian Herr ,
Herbert Koch
Klassifikation
31 Mathematik > 31.45 Partielle Differentialgleichungen
AC Nummer
AC16819465
Utheses ID
65958
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |