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Signature-based models in finance and robust risk measures

Guido Gazzani

Art der Arbeit

Dissertation

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Wirtschaftswissenschaften

Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)

Doctor of Philosophy-Doktoratsstudium Wirtschaftswissenschaften (Dissertationsgebiet: Statistik und Operations Research)

Betreuer*innen

Christa Cuchiero ,

Irene Klein

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DOI

10.25365/thesis.73201

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-11267.60365.625174-3

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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)

Abstracts

Abstract

(Deutsch)

Diese Arbeit ist der Untersuchung von Signatur-basierten Modellen und robusten Risikomaßen in Finanzmathematik gewidmet. Bei ersteren handelt es sich um eine Klasse von Aktienpreismodellen, deren Dynamik durch lineare Funktionen der Signatur eines zugrunde liegenden Prozesses beschrieben wird, der von einer aus dem Markt abgeleiteten Brownschen Bewegung bis hin zu einem allgemeinen mehrdimensionalen stetigen Semimartingal reichen kann. Der Modellrahmen ist universell in dem Sinne, dass klassische Modelle approximiert werden können und dass die Parameter des Modells durch einfache Methoden aus allen verfügbaren Datenquellen gelernt werden können. Wir untersuchen weiters Bedingungen, die die Abwesenheit von Arbitrage garantieren, und leiten Optionspreisformeln für sogenannte Sig-Payoffs her, die die polynomielle Eigenschaft generischer Prozesse ausnutzen. Einer unserer Schwerpunkte liegt auf der Kalibrierung, bei der wir sowohl Zeitreihen- als auch implizite Volatilitätsdaten berücksichtigen, die einerseits aus klassischen stochastischen Volatilitätsmodellen und andererseits auch aus S\&P 500-Indexmarktdaten generiert werden. Für beide Aufgaben erweist sich die Linearität des Modells als entscheidendes Merkmal, das es ermöglicht, schnelle und genaue Kalibrierungsergebnisse zu erhalten. Darüber hinaus schlagen wir eine andere Version des bisherigen Aktienpreismodells vor, indem wir den Volatilitätsprozess als lineares Funktional der Signatur eines zugrundeliegenden Prozesses parametrisieren. Auf diese Weise erhalten wir sowohl geschlossene Formeln für VIX-Index-Futures als auch eine gut handhabare Dynamik des SPX-Index unter einem risiko-neutralen Maß. Dies liefert dann den Ausgangspunkt, um das komplexe Problem der gemeinsamen Kalibrierung an SPX- und VIX-Optionen anzugehen, das wir unter Verwendung korrelierter Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse lösen. Der zweite Forschungsstrang besteht darin, zunächst zwei Arten von Risikomaßen in Bezug auf ein Referenzwahrscheinlichkeitsmaß einzuführen, die beide eine bestimmte Ordnungsstruktur und Dominationseigenschaft zulassen. Die Analyse in welchem Verhältnis diese zwei Arten von Risikomaßen zueinander stehen führt zu der Frage, wann eine bestimmte Minimax-Ungleichung tatsächlich eine Gleichheit ist. Wir stellen dann Bedingungen auf, unter denen die entsprechenden robusten Risikomaße, die als Supremum über alle durch eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen induzierten Risikomaße definiert sind, klassisch durch ein einziges Wahrscheinlichkeitsmaß dargestellt werden können. Wir konzentrieren uns insbesondere auf die Mischverteilung, die man durch Mischen über eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen unter Verwendung eines Priors erhält, der z.B. die Einschätzungen des Regulators darstellt. Diese klassische Darstellung in Form der Mischverteilung kann dann als Bayesianischer Ansatz für robuste Risikomaße interpretiert werden. Der letzte Teil der Arbeit widmet sich einem Ausblick in Richtung dynamischer robuster Risikomaße unter Modellunsicherheit und deren Eigenschaften im Lichte der oben genannten Erkenntnisse im statischen Setup.

Abstract

(Englisch)

This thesis is devoted to the study of signature-based models in finance and robust risk measures. The former is a class of asset price models whose dynamics are described by linear functions of the (time extended) signature of a primary underlying process, which can range from a (market-inferred) Brownian motion to a general multidimensional continuous semimartingale. The framework is universal in the sense that classical models can be approximated arbitrarily well and that the model's parameters can be learned from all sources of available data by simple methods. We provide conditions guaranteeing absence of arbitrage as well as tractable option pricing formulas for so-called sig-payoffs, exploiting the polynomial nature of generic primary processes. One of our main focus lies on calibration, where we consider both time-series and implied volatility surface data, generated from classical stochastic volatility models and also from S\&P 500 index market data. For both tasks the linearity of the model turns out to be the crucial tractability feature which allows to get fast and accurate calibrations results. We propose additionally a modification of the previous asset price models, by parameterizing the volatility process as a linear functional of the signature of a primary process. We then obtain both closed formulas for VIX index futures and a tractable expression for the corresponding SPX index dynamics under a pricing measure. This in turn allows to tackle the complex problem of joint calibration to SPX and VIX options which we solve by employing correlated Ornstein-Uhlenbeck processes as primary processes. The second line of research consists in first introducing two kinds of risk measures with respect to some reference probability measure, which both allow for a certain order structure and domination property. Analyzing their relation to each other leads to the question when a certain minimax inequality is actually an equality. We then provide conditions under which the corresponding robust risk measures, being defined as the supremum over all risk measures induced by a set of probability measures, can be represented classically in terms of one single probability measure. We focus in particular on the mixture probability measure obtained via mixing over a set of probability measures using some prior, which represents for instance the regulator's beliefs. The classical representation in terms of the mixture probability measure can then be interpreted as a Bayesian approach to robust risk measures. The last part of the thesis is devoted to an outlook in the direction of dynamic robust risk measures under model uncertainty and their properties in light of the aforementioned findings in the static setup.

Autor*innen

Guido Gazzani

Haupttitel (Englisch)

Signature-based models in finance and robust risk measures

Paralleltitel (Deutsch)

Signatur-basierten Modellen in Finanzmathematik und robusten Risikomaßen

Publikationsjahr

2023

Umfangsangabe

xi, 167 Seiten : Illustrationen

Sprache

Englisch

Beurteiler*innen

Christian Bayer ,

Giulia Di Nunno

Klassifikationen

31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung ,

31 Mathematik > 31.73 Mathematische Statistik

AC Nummer

AC16785604

Utheses ID

65980

Studienkennzahl

UA | 794 | 370 | 136 |

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