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Hyperseries and generalized real analytic functions
Diksha Tiwari
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (DissG: Mathematik)
Betreuer*innen
Paolo Giordano ,
Michael Kunzinger
DOI
10.25365/thesis.74123
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-19115.61394.237738-8
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Das Ziel dieser PhD Dissertation ist die Entwicklung einer Theorie der verallgemeinerten (engl. generalized) reell analytischen Funktionen (GRAF). Den Rahmen daf\"ur bilden verallgemeinerte glatte Funktionen, ein Teilgebiet der Colombeau Theorie, welche zahlreiche nicht-lineare Eigenschaften mit gew\"ohnlichen glatten Funktionen teilen, wie zum Beispiel Abgeschlossenheit bez\"uglich Komposition, eine vielf\"altige Integrationstheorie, sowie mehrere klassische Theoreme der Analysis. Im Gegensatz zu der klassischen Colombeau Theorie der reell analytischen Funktionen, ist die Grundidee in der Definition der GRAF nicht eine Charakterisierung durch das Wachstum der Ableitungen, sondern das Prinzip einer Hyperreihe, d.h.~einer Reihe bestehend aus verallgemeinerten Colombeau Zahlen, erweitert \"uber der Menge der hypernat\"urlichen Zahlen ${}^\rho\widetilde{\mathbb{N}}$ (verallgemeinerte Zahlen mit einer ganzzahligen Repr\"asentation). Da der Robinson--Colombeau Ring ${}^\rho \widetilde{\mathbb{R}}$ nicht-Archimedisch und Cauchyvollst\"andig ist, konvergieren klassische Reihen der Form $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ mit $a_n \in {}^\rho \widetilde{\mathbb{R}}$ dann und nur dann wenn $a_n \to 0$ in der sogenannten \emph{sharp topology}. Diese Eigenschaft hindert uns mehrere klassische Resultate auf die verallgemeinerten analytischen Funktionen zu erweitern. Das Prinzip einer Hyperreihe ben\"otigt das Konzept eines Hyperlimits, d.h. eines Limits $n \to +\infty$, f\"ur $n \in {}^\rho \widetilde{\mathbb{N}}$. F\"ur die Untersuchung monotoner Hyperlimiten und Konvergenzradien von Hyperpotenzreihen mussten wir ber\"ucksichtigen dass $\widetilde{\mathbb{R}}$ nicht ordnungsvollst\"andig ist. Daher befassten wir uns mit den Konzepten eines abgeschlossenen Supremums und Infimum um klassische Theoreme auf Hyperlimiten, sowie Hyperlimes superior und inferior zu verallgemeinern. Das dazugeh\"orige Konzept einer Hyperreihe erlaubt es uns zahlreiche klassische Resultate zu erweitern, die f\"ur klassische Folgen in einem nicht-Archimedischen Rahmen nicht gelten: alle klassischen Konvergenzkriterien, die Cauchy-Produktformel, den Satz von Mertens und sogar die Untersuchung divergierender unendlicher Hyperreihen. Diese Grundbegriffe erlauben es uns das Konzept von GRAF durch Hyperpotenzreihen zu untersuchen, sowie klassische Resultate zu beweisen, wie algebraische Operationen, Komposition und Inversion von Hyperpotenzreihen. Wir behandeln ebenfalls gliedweise Differentiation, Integration und die Charakterisierung durch lokal gleichmäßige obere Schranken der Ableitungen. Im Gegensatz zum klassischen Gebrauch von Reihen, können wir mehrere klassische Beispiele in einer nicht-infinitesimale Konvergenzmenge, sowie alle Colombeau reell analytische Funktionen behandeln. Das Konzept einer verallgemeinerten reell analytischen Funktion ist weniger starr im Vergleich zu ihrem klassischen Analogon, z. Bsp. beinhaltet dieses klassisch nicht-analytische Funktionen mit flachen Punkten, sowie mehrere Distributionen wie die Dirac Delta-Distribution. Aus diesem Grund gilt im Allgemeinen das klassische Identitätstheorem nicht, und wir beweisen nur eine hinreichende Bedingung. Andererseits ist diese größere Flexibilität wichtig, weil wir letztendlich die Absicht haben, in einer künftigen Arbeit, das Cauchy--Kowalevski Theorem für eine breitere Klasse an verallgemeinerten Funktionen zu beweisen.
Abstract
(Englisch)
The main goal of this PhD thesis has been to start developing the theory of generalized real analytic functions (GRAF). The framework is that of generalized smooth functions, a branch of Colombeau theory where generalized functions share many nonlinear properties with ordinary smooth functions, like the closure with respect to composition, a good integration theory, and several classical theorems of calculus. Unlike classical Colombeau theory of real analytic functions, the basic idea to define GRAF is not to use a characterization by growth of derivatives, but the notion of hyperseries, i.e. of series of Colombeau generalized numbers extended over the set of hypernatural numbers ${}^\rho \widetilde{\mathbb{N}}$ (generalized numbers having an integer representative). In fact, since the ring ${}^{\rho}\widetilde{\mathbb{R}}$ of Robinson-Colombeau is non-Archimedean and Cauchy complete, a classical series $\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}$ of generalized numbers $a_{n}\in {}^{\rho}\widetilde{\mathbb{R}}$ is convergent if and only if $a_{n}\to0$ in the sharp topology. This property does not permit us to generalize several classical results in the study of analytic generalized functions. The notion of hyperseries naturally needs the preliminary concept of hyperlimit, i.e. of limit $n\to+\infty$ for $n\in {}^\rho \widetilde{\mathbb{N}}$. Both for studying monotone hyperlimits and the radius of convergence of hyper-power series, we had to consider that $\widetilde{\mathbb{R}}$ is necessarily not order-complete, and we therefore studied the notions of close supremum and infimum in order to generalize the classical theorems for hyperlimits and hyper superior and inferior limits. The corresponding notion of hyperseries allows us to extend numerous classical results which do not hold using classical series in a non-Archimedean framework: all the classical convergence tests and examples, Cauchy product and Mertens' theorem and even the study of divergent infinite hyper sums. These foundations allow us to develop the notion of GRAF by studying hyper-power series and proving classical results such as algebraic operations, composition and inversion of hyper-power series. We also considered term by term derivation and integration and the characterization by local uniform upper bounds of derivatives. On the contrary with respect to the classical use of series, we can recover several classical examples in a non-infinitesimal set of convergence and all Colombeau real analytic functions. The notion of generalized real analytic function reveals to be less rigid with respect to the classical one, e.g. including classical non-analytic smooth functions with flat points and several distributions such as the Dirac delta. For this reason, the classical identity theorem does not hold in general and we proved only a sufficient condition. On the other hand, this better flexibility is important, because we eventually aim to generalize, in a future work, the Cauchy Kowalevski theorem to a wider class of generalized functions.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Hyper-Power Series Hyper Series Verallgemeinerte reelle analytische Funktion Colombeau verallgemeinerte Funktionen
Schlagwörter
(Englisch)
Hyper-Power series Hyper Series Generalized real analytic function Colombeau generalized functions
Autor*innen
Diksha Tiwari
Haupttitel (Englisch)
Hyperseries and generalized real analytic functions
Paralleltitel (Deutsch)
Hyperreihen und verallgemeinerte reell analytische Funktionen
Publikationsjahr
2023
Umfangsangabe
121 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Lorenzo Luperi Baglini ,
Stanley Orlando Juriaans
Klassifikation
31 Mathematik > 31.46 Funktionalanalysis
AC Nummer
AC16925038
Utheses ID
66069
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |