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Variational models for biological membranes
Katharina Brazda
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (DissG: Mathematik)
Betreuer*innen
Ulisse Stefanelli ,
Christian Schmeiser
DOI
10.25365/thesis.73598
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-24359.59966.523739-5
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Biologische Membranen besitzen eine erstaunliche natürliche Formenvielfalt. Das bekannteste Beispiel ist die bikonkave Gleichgewichtskonfiguration von roten Blutkörperchen. Im Rahmen der Kontinuumsmechanik können Biomembranen als Flächen minimaler elastischer Biegungsenergie beschrieben werden. Bei dieser sogenannten Canham-Helfrich-Energie handelt es sich um ein quadratisches Krümmungsfunktional, welches die Willmore-Energie verallgemeinert, indem unterschiedliche Biegungssteifigkeiten und die spontane Krümmung berücksichtigt werden. Die Minimierung erfolgt unter Bedingungen an den Flächeninhalt und an das eingeschlossene Volumen der Membran.
Diese Doktorarbeit konzentriert sich auf zwei verschiedene Aspekte von auf der Canham-Helfrich-Energie basierenden variationellen Modellen für Biomembranen. Zunächst behandeln wir heterogene Membranen, wobei unser Interesse dem Einfluss der veränderlichen Materialparameter auf die Existenz von Minimierern und deren Eigenschaften gilt. Hier präsentieren wir Resultate für ein eindimensionales Canham-Helfrich-Modell für ebene elastische Kurven, deren Steifigkeit von einer Phasendichte abhängt. Dann betrachten wir Mehrphasenmembranen mit scharfen Phasengrenzen und zeigen die Existenz von Energie-minimierenden Krümmungsvarifaltigkeiten, einem Konzept aus der geometrischen Maßtheorie. Das zweite Thema der Dissertation ist die Analyse des Canham-Helfrich-Gradientenflusses, welcher die zeitliche Evolution von Biomembrankonfigurationen hin zu ihrem Gleichgewichtszustand beschreibt. Basierend auf unserem Varifaltigkeitsmodell können wir die Existenz globaler Lösungen mit der Methode der Generalized Minimizing Movements zeigen und weiters die Evolution von Flächen mit höherer Regularität diskutieren. Für beide in dieser Arbeit behandelten Aspekte gilt, dass die für die Existenz erforderlichen Parameterbereiche im Einklang mit experimentell gewonnenen Daten für biologische Membranen stehen.
Abstract
(Englisch)
Biological membranes naturally occur in a fascinating variety of shapes. The most prominent example is the biconcave equilibrium configuration of red blood cells. In a continuum mechanical approach, biomembranes can be described as surfaces that minimize the Canham-Helfrich elastic bending energy. This quadratic curvature functional generalizes the Willmore energy by taking different bending rigidities and the presence of a spontaneous curvature parameter into account. Minimization has to be performed under constraints on membrane area and enclosed volume.
This thesis focuses on two different aspects of variational models involving the Canham-Helfrich energy. First, we study heterogeneous biomembranes, where we are interested in the influence of the varying material parameters on the existence of minimizers and their properties. We present results for a one-dimensional Canham-Helfrich model, describing a planar elastic curve whose stiffness parameter is modulated by an additional phase density. Moreover, we consider multiphase biomembranes with sharp phase-interfaces, where we prove existence of minimizers within the geometric measure theoretical framework of curvature varifolds. The second focus of this thesis is to analyze the Canham-Helfrich gradient flow, which governs the time-evolution of biomembrane configurations towards equilibrium. Based on our varifold setting, we establish existence of global solutions via the Generalized Minimizing Movements method and also discuss the evolution of more regular surfaces. In both aspects addressed in this thesis, the material parameter bounds we require for existence of solutions are consistent with the available experimental data on biological membranes.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Variationsrechnung biologische Membranen elastische Kurven Canham-Helfrich-Energie Krümmungsvarifaltigkeiten Gradientenflüsse
Schlagwörter
(Englisch)
Calculus of variations biological membranes elastic curves Canham-Helfrich energy curvature varifolds gradient flows
Autor*innen
Katharina Brazda
Haupttitel (Englisch)
Variational models for biological membranes
Paralleltitel (Deutsch)
Variationelle Modelle für biologische Membranen
Publikationsjahr
2023
Umfangsangabe
v, 123 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Anna Dall'Acqua ,
Matthias Röger
AC Nummer
AC16864918
Utheses ID
66125
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |