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Galton-Watson-Verzweigungsprozesse - Theorie & Anwendung
Rafael Jochum
Art der Arbeit
Magisterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Wirtschaftswissenschaften
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Magisterstudium Statistik
Betreuer*in
Werner Schachinger
DOI
10.25365/thesis.73394
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-31336.75947.898948-0
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die Einsatzpalette der Galton-Watson-Prozesse, welche die Grundlage für viele weitere Verzweigungsprozesse bilden, ist weit gefächert. Diese stochastischen Modelle wurden bereits in der Vergangenheit ergiebig erforscht. Aber auch gegenwärtig sind sie Gegenstand vieler Untersuchungen. In der vorliegenden Magisterarbeit wird in erster Linie die elementare mathematische Theorie sowohl für das klassische Modell als auch für Galton-Watson-Prozesse mit mehreren unterschiedlichen Typen neu aufbereitet. Dabei wird mit einer Detailliertheit vorgegangen, welche über jene in der gängigen, dazu zu findenden Literatur hinausgeht. Zudem wird ein mathematischer Appendix zur Verfügung gestellt, in welchem ggf. viele notwendige Begrifflichkeiten und Resultate nachgeschlagen werden können. Insgesamt war die Zielsetzung, dass die Herleitungen der Erkenntnisse möglichst niederschwellig und vollumfänglich nachvollziehbar sind. Abgedeckt werden jeweils theoretische Analysen der stochastischen Eigenschaften der Populationsgrößen – vielfach wird mit wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen vorgegangen. Weiters ist eine Betrachtung der Prozesse als Markov-Ketten bis hin zur Bestimmung der Aussterbewahrscheinlichkeiten beinhaltet. Bzgl. der traditionellen Galton-Watson-Prozesse werden darüber hinaus erste asymptotische Grenzwertresultate gegeben und u.a. die Verteilung des Aussterbezeitpunkts und der Gesamtpopulation der Prozesse untersucht. Eine Vertiefung anhand konkreter Beispielprozesse wird mit der Statistiksoftware R unterstützt. Dies bildet den zweiten Schwerpunkt dieser Arbeit. Hierzu werden ergänzend zu bestehenden Paketen eigene Funktionen bereitgestellt. Diese ermöglichen Analysen der zuvor theoretisch erzielten Ergebnisse, was abschließend anhand eines weiteren expliziten Beispiels eines Galton-Watson-Prozesses mit mehreren verschiedenen Typen demonstriert wird. Um diesbezüglich einen potentiellen Anknüpfungspunkt zu bieten, findet sich der Quellcode der R-Routinen im Anhang.
Abstract
(Englisch)
The scope of application of Galton-Watson processes, which constitute the basis for many other branching processes, is comprehensive. Having been extensively researched in the past, these stochastic models continue to be the subject of many current investigations. In the present master thesis, primarily the elementary mathematical theory for the classical model as well as for Galton-Watson processes with multiple types is reworked. In this respect, particular attention is paid to the detailed approach, which exceeds what one usually finds in the standard literature. Moreover, a mathematical appendix is provided which serves as a reference work for various necessary terms and results. Overall, the derived findings should be accessible and fully comprehensible. Theoretical analyses of the stochastic properties of population sizes are covered, predominantly using probability generating functions. In addition, both a consideration of the processes as Markov chains and the determination of extinction probabilities are included. With regard to traditional Galton-Watson processes, initial asymptotic limit theorems are given. Furthermore, the distribution of extinction time and total population of processes are examined. Based on precise example processes a deepening of understanding is supported by the statistics software R. This forms the second aim of the present master thesis. Complementing the existing packages, custom functions are presented which facilitate the analyses of the previous theoretically obtained results. These analyses are finally demonstrated by including another explicit example of a Galton-Watson process with multiple types. In order to provide a potential connecting point, the source code of the R functions is incorporated in the appendix.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Multitype Galton-Watson-Prozesse Verzweigungsprozesse Populationsdynamik Stochastische Modelle Stochastische Prozesse Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen Markov-Ketten R
Schlagwörter
(Englisch)
multitype Galton-Watson processes branching processes population dynamics stochastic models stochastic processes probability generating functions Markov chains R
Autor*innen
Rafael Jochum
Haupttitel (Deutsch)
Galton-Watson-Verzweigungsprozesse - Theorie & Anwendung
Paralleltitel (Englisch)
Galton-Watson branching processes - theory & application
Publikationsjahr
2023
Umfangsangabe
vii, 238 Seiten : Illustrationen
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Werner Schachinger
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung ,
31 Mathematik > 31.73 Mathematische Statistik
AC Nummer
AC16819128
Utheses ID
66493
Studienkennzahl
UA | 066 | 951 | |