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(Asymptotic) analysis of the Pauli-Poisswell equation in semi-relativistic quantum physics

Jakob Möller

Art der Arbeit

Dissertation

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Mathematik

Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)

Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (DissG: Mathematik)

Betreuer*in

Norbert Mauser

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DOI

10.25365/thesis.74749

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-21099.10793.160216-4

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Abstracts

Abstract

(Deutsch)

Die selbstkonsistente Pauli-Poisswell-Gleichung für 2-Spinoren ist die semirelativistische Näherung erster Ordnung in 1/c der Dirac-Maxwell-Gleichung für 4-Spinoren. Sie besteht aus einer vektorwertigen magnetischen Schrödingergleichung mit zusätzlichen Kopplungsterm für Spin und Magnetfeld und ist an 1+3 Poisson-Gleichungen als magnetostatische Näherung der Maxwell-Gleichungen gekoppelt. Die Pauli-Poisswell-Gleichung ist ein konsistentes O(1/c)-Modell, das die relativistischen Effekte Magnetismus und Spin enthält, die in der nichtrelativistischen Schrödinger-Poisson-Gleichung nicht vorhanden und in der Schrödinger-Maxwell-Gleichung inkonsistent sind. Der semiklassische ($\hbar \rightarrow 0$) Limes der nicht-relativistischen Schrödinger-Poisson-Gleichung} zur {Vlasov-Poisson-Gleichung wurde von P.L. Lions & T. Paul und P. Markowich & N.J. Mauser unter Verwendung von Wigner-Maßen und einer Dichtematrixformulierung mit gemischten Zuständen in 3d bewiesen. Wir erweitern diese Resultate auf die Pauli-Poisson-Gleichung mit starkem externen Magnetfeld, das viel stärker als die magnetische Selbstwechselwirkung ist, während das elektrische Feld selbstkonsistent über die Poisson-Gleichung für das elektrische Potential gekoppelt ist. Hier sind die magnetischen Lieb-Thirring-Abschätzungen wichtig. Die Pauli-Poisson-Gleichung konvergiert gegen die Vlasov-Poisson-Gleichung mit Lorentz-Kraft. Wir beweisen die lokale Wohlgestelltheit und die Existenz von schwachen Lösungen der Pauli-Poisswell-Gleichung. Wir präsentieren den semiklassischen Limes der Pauli-Poisswell-Gleichung zur Vlasov-Poisswell-Gleichung mit Lorentz-Kraft. Wesentliche Fortschritte wurden unter Verwendung einer zusätzlichen Annahme über den gemischten Anfangszustand gemacht, aus der die gleichmäßige Beschränktheit der Husimi-Funktion folgt. Ein offenes technisches Problem ist die fehlende Regularität aufgrund der nichtlinearen Kopplung der Stromdichte $J^{\hbar,c}$ und des Magnetfeldes $B^{\hbar,c}$. Wir beweisen den lokalen semiklassischen Grenzwert der Pauli-Poisswell-Gleichung zur magnetischen Euler-Poisswell-Gleichung mit der WKB-Methode. Die Euler - Gleichung entspricht der Vlasov-Gleichung mit monokinetischen Anfangsdaten. Ein wichtiger Schritt besteht darin, A-priori-Abschätzungen zu erhalten. Wir erhalten auch schwache Konvergenz der monokinetischen Wigner-Transformation und starke Konvergenz der Dichte und der Stromdichte.

Abstract

(Englisch)

The self-consistent Pauli-Poisswell equation for 2-spinors is the first order in 1/c semi-relativistic approximation of the Dirac-Maxwell equation for 4-spinors. It consists of a vector-valued magnetic Schrödinger equation with an additional term coupling spin and magnetic field via the Pauli matrices, which is coupled to 1+3 Poisson type equations representing the magnetostatic approximation of Maxwell's equations. The Pauli-Poisswell equation is a consistent O(1/c) model which keeps both relativistic effects of magnetism and of spin which are both absent in the non-relativistic Schrödinger-Poisson equation and inconsistent in the Schrödinger-Maxwell equation. The semiclassical ($\hbar \rightarrow 0$) limit of the non-relativistic Schrödinger-Poisson equation towards the Vlasov-Poisson equation was established using Wigner measures by P.L. Lions & T. Paul and P. Markowich & N.J. Mauser in a mixed state formulation in 3d. We extend these results to the related Pauli-Poisson equation where a strong external magnetic field is applied which is much stronger than the magnetic self-interaction while the electric field is coupled self-consistently via the Poisson equation for the electric potential. Here, magnetic Lieb-Thirring estimates are crucial. The Pauli-Poisson equation converges towards the Vlasov-Poisson equation with Lorentz force. We prove local wellposedness and existence of finite energy weak solutions of the Pauli-Poisswell equation. We present the global-in-time semiclassical limit to the Vlasov-Poisswell equation with Lorentz force by the Wigner method: Substantial progress has been achieved using an additional assumption on the initial mixed state that yields the boundedness of the Husimi function. A technical problem of missing regularity due to the nonlinear coupling of the current density $J^{\hbar,c}$ and the presence of the magnetic field $B^{\hbar,c}$ remains an open problem. We prove the local-in-time semiclassical limit of the Pauli-Poisswell equation to the Euler-Poisswell equation by the WKB method. The Euler equation corresponds to the Vlasov equation with monokinetic initial data. A key step is to obtain a priori energy estimates for which we have to take into account the Poisson equations for the electromagnetic potentials. We also obtain weak convergence of the monokinetic Wigner transform and strong convergence of the density and the current density.

Autor*innen

Jakob Möller

Haupttitel (Englisch)

(Asymptotic) analysis of the Pauli-Poisswell equation in semi-relativistic quantum physics

Paralleltitel (Deutsch)

(Asymptotische) Analysis der Pauli-Poisswell-Gleichung in der semi-relativistischen Quantenphysik

Publikationsjahr

2023

Umfangsangabe

iv, 126 Seiten : Illustrationen

Sprache

Englisch

Beurteiler*innen

Francois Golse ,

Robert Seiringer

Klassifikationen

31 Mathematik > 31.45 Partielle Differentialgleichungen ,

31 Mathematik > 31.80 Angewandte Mathematik

AC Nummer

AC16992723

Utheses ID

66835

Studienkennzahl

UA | 796 | 605 | 405 |

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