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Diagonalisierbarkeit von linearen Abbildungen und Matrizen und die Jordan-Matrix
Sophie Rosa Pfeiffer
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Lehramt Sek (AB) UF Latein UF Mathematik
Betreuer*in
Günther Hörmann
DOI
10.25365/thesis.73601
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-14612.28883.765935-8
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die lineare Algebra hat zahlreiche Anwendungen in mehreren Bereichen, insbesondere in den Naturwissenschaften und Ingenieurwissenschaften. Unter anderem können lineare Gleichungs- und Differentialgleichungssysteme auf lineare Abbildungen und Matrizen zurückgeführt werden. Um lineare Abbildungen effizient zur Berechnung in den Anwendungsbereichen nutzen zu können, sucht man eine Matrixdarstellung, mit der möglichst einfach gerechnet werden kann. Die Suche nach einer solchen Darstellungsmatrix ist der zentrale Aspekt der vorliegenden Arbeit. Ausgehend von einem Anwendungsbeispiel aus der Biologie werden wichtige Begriffe und Anwendungsbereiche der Matrizenrechnung vorgestellt. Zunächst wird gezeigt, dass Diagonalmatrizen gegenüber allgemeinen Matrizen große Vorteile bieten. Doch nicht alle Matrizen erfüllen die Kriterien der Diagonalisierbarkeit. Im weiteren Verlauf der Arbeit wird die Jordan-Normalform erarbeitet. In diese kann jede Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt, transformiert werden. Schlussendlich wird eine Anwendung in der Biologie exemplarisch vorgestellt.
Abstract
(Englisch)
Linear algebra has numerous applications in different fields, especially in natural sciences and in engineering sciences. Amongst other things, linear equation and differential equation systems can be traced to linear mappings and matrices. In order to be able to use linear mappings efficiently for calculations in the application areas, one has to search a matrix representation which can be calculated as efficiently as possible. The search for such a display matrix is the central aspect of this work. Based on an application example from biology, important terms and areas of application will be introduced. First, it will be shown, that diagonal matrices provide great advantages compared to general matrices. However, not all matrices meet the criteria of diagonalizability. Subsequently, the Jordan normal form will be introduced. It can be transformed into any display matrix of a linear mapping, whose characteristic polynomial can be factored into linear factors. Finally, an application in biology is presented as an example.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Diagonalisierbarkeit lineare Abbildungen Matrizen Jordan-Normalform Minimalpolynom
Schlagwörter
(Englisch)
Diagonalizability linear mappings matrices Jordan normal form minimal polynomial
Autor*innen
Sophie Rosa Pfeiffer
Haupttitel (Deutsch)
Diagonalisierbarkeit von linearen Abbildungen und Matrizen und die Jordan-Matrix
Paralleltitel (Englisch)
Diagonalizability of linear mappings and matrices and the Jordan matrix
Publikationsjahr
2023
Umfangsangabe
iii, 54 Seiten
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Günther Hörmann
Klassifikation
31 Mathematik > 31.25 Lineare Algebra. multilineare Algebra
AC Nummer
AC16865062
Utheses ID
67040
Studienkennzahl
UA | 199 | 519 | 520 | 02