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Kettenbrüche, Farey-Folgen und diophantische Approximation
Julia Ebner
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Lehramt Sek (AB) UF Biologie und Umweltbildung UF Mathematik
Betreuer*in
Leonhard Summerer
DOI
10.25365/thesis.74009
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-22218.56729.536437-9
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Auf den ersten Blick stellt sich möglicherweise die Frage, nach dem Zusammenhang zwischen Kettenbrüchen, Farey-Folgen und der diophantischen Approximation. In der Literaturarbeit wird die Bedeutung von Kettenbrüchen, Farey-Folgen und der Approximationstheorie erarbeitet, und zuletzt in Relation zueinander gesetzt. Kettenbrüche und Farey-Folgen sind nämlich ein nützliches Werkzeug, um reelle Zahlen anzunähern, vor allem jene die unendlich viele nicht-periodische Nachkommastellen aufweisen. Eine solche Zahl, für die es jahrtausendelang von großem Interesse war, auf eine qualitativ gute Näherung zurückzugreifen, ist die Kreiszahl π. Die diophantische Approximation ist ein Teilgebiet der Mathematik, welche es sich zum Ziel gesetzt hat, Aussagen über die Güte einer Näherung zu treffen. Aus dem Blickwinkel der diophantischen Approximation liefern Kettenbrüche und Farey-Folgen gute Näherungen an reelle Zahlen mit geringem Fehler. Ein zentraler Satz der vorliegenden Masterarbeit ist der Approximationssatz von Dirichlet aus dem Jahre 1842. Dieser liefert nicht nur die Erkenntnis, dass es zu jeder reellen Zahl eine Folge guter rationaler Näherungen gibt, sondern es lässt sich auch eine notwendige und eine hinreichende Bedingung für die Irrationalität einer Zahl durch geringe Ergänzungen des Theorems ableiten.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Kettenbrüche Farey-Folgen diophantische Approximation Zusammenhang
Autor*innen
Julia Ebner
Haupttitel (Deutsch)
Kettenbrüche, Farey-Folgen und diophantische Approximation
Publikationsjahr
2023
Umfangsangabe
62 Seiten
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Leonhard Summerer
Klassifikation
31 Mathematik > 31.14 Zahlentheorie
AC Nummer
AC16920267
Utheses ID
67813
Studienkennzahl
UA | 199 | 502 | 520 | 02