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Determinantal point processes and their application in dimension reduction
Piotr Pawel Kucharski
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
José Luis Romero
DOI
10.25365/thesis.74113
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-19079.72975.551472-8
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Determinantaler Punktprozess ist Objekt aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, die in letzter Zeit im maschinellen Lernen, in der Quantenphysik und in verschiedenen anderen Bereichen immer beliebter werden. Ihre Ursprünge gehen auf den Artikel aus dem Jahr 1975 zurück, in dem O. Macchi sie als Fermionprozesse (ein Fermion ist eine Teilchenart) bezeichnet. Das aus der Theorie der Quantenteilchen stammende Modell zeigt, wie eine Gruppe von Fermionen im thermischen Gleichgewicht verteilt ist. Der Fermionprozess ist ein Zeitprozess, bei dem Momente aufgezeichnet werden, in denen ein an einem bestimmten Punkt angebrachter Detektor ein Teilchen registriert. In diesem Modell ist es wichtig, dass die Punkte "tend to exclude one another" – es liegt ein Phänomen der Abstoßung vor. Tatsächlich ist das bestimmende Merkmal determinanter Punktprozesse ihre negative Korrelationseigenschaft – ausgewählte Elemente sind mit größerer Wahrscheinlichkeit vielfältig, was diese Punktprozesse gut für die Modellierung von Diversität macht. Diese Eigenschaft hat sie berühmt gemacht und zu einer weiten Verbreitung in vielen verschiedenen Anwendungen geführt, beispielsweise zur Zusammenfassung von Bildern und Texten, zur Matrixfaktorisierung, zur Untersuchung der Geometrie von Modulräumen und zur Dimensionsreduktion. Im letzten Beispiel kann ein determinanter Prozess dank der Abstoßung die Richtung in der Abhängigkeitsstruktur von Daten erfassen. Ein starker Schwerpunkt liegt auf einer kürzlich eingeführten Unterklasse, den sogenannten Gaußschen Determinantenprozessen, da wir davon ausgehen können, dass große Datensätze Gaußsche Eigenschaften aufweisen. In dieser Arbeit geben wir einen Überblick über die Theorie und Anwendung determinanter Punktprozesse bei der Dimensionsreduktion im Vergleich zu anderen Methoden. Insbesondere Kapitel 3 liefert originelle Erkenntnisse, wählt die richtigen Stichproben aus, um unterschiedliche, sowohl bevorzugte als auch nicht bevorzugte Ergebnisse der sogenannten Gaußschen Determinantenpunktprozessmethode zu zeigen, und verallgemeinert die Schätzung empirischer Schätzer außerhalb des Gaußschen Bereichs.
Abstract
(Englisch)
Determinantal point processes are objects from probability theory that have recently risen in popularity in machine learning, quantum physics and various other fields. Their origins reach back to the article from 1975, in which O. Macchi denoted them as fermion processes (a fermion is a type of particle). The model, coming from the theory of quantum particles, shows how a group of fermions is distributed in a state of thermal equilibrium. The fermion process is a time process, which involves recording moments of time at which a detector put at a given point registers any particle. In this model it is important, that the points "tend to exclude one another" - there is a phenomenon of repulsion. Indeed, the defining trait of determinantal point processes is their negative correlation property - chosen elements are more likely to be diverse, which makes these point processes good for modeling diversity. This property is what has made them famous and what has led to wide dissemination in many different applications, such as image and text summarization, matrix factorization, studying the geometry of moduli spaces and dimension reduction. In the last example, thanks to repulsion, a determinantal process can capture directionality in the dependence structure of data. A strong emphasis is put on a recently introduced subclass, called Gaussian determinantal processes, as we can expect large datasets to have Gaussian properties. In this thesis, we provide an overview of the theory and application of determinantal point processes in dimension reduction with comparison to other methods. In particular chapter 3 provides original insights, selecting the right samples to show different, both preferential and not, outcomes of the so called Gaussian determinantal point process method as well as generalising the estimation of empirical estimator outside of Gaussian scope.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
determinantaler punktprozess punktprozess gdp dimensionsreduktion Gaußscher determinantaler punktprozess
Schlagwörter
(Englisch)
determinantal point process point process joint intensity gdp dimension reduction gaussian determinantal process
Autor*innen
Piotr Pawel Kucharski
Haupttitel (Englisch)
Determinantal point processes and their application in dimension reduction
Paralleltitel (Deutsch)
Determinantal point processes und ihre Anwendung bei der Dimensionsreduktion
Publikationsjahr
2023
Umfangsangabe
66 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
José Luis Romero
AC Nummer
AC16924590
Utheses ID
68054
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |