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The loop O(n) model and Monte Carlo methods in statistical mechanics
David Beck-Tiefenbach
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Alexander Glazman
DOI
10.25365/thesis.75007
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-11644.88660.207797-5
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Arbeit ist dem Loop O(n) Modell und Markov-Chain-Monte-Carlo-Verfahren zur Simulation dieses Modells gewidmet. Das Loop O(n) Modell ist eine zweiparametrige Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die auf Konfigurationen von disjunkten Zyklen auf dem hexagonalen Graphen beruhen. Das Loop O(n) Modell ist Gegenstand aktiver Forschung: In frühen Arbeiten wurden detaillierte Vorhersagen über seine Eigenschaften und sein Verhalten gemacht, von denen ein großer Teil noch mathematisch bestätigt werden muss. Markov-Chain-Monte-Carlo (MCMC)-Methoden umfassen eine Klasse von Algorithmen, die auf das sogenannte Sampling von Wahrscheinlichkeitsverteilungen abzielen. Während MCMC-Algorithmen anfangs durch einen Mangel an verfügbaren Rechenressourcen eingeschränkt waren, haben die rasanten technologischen Fortschritte der letzten Jahrzehnte dazu geführt, dass sich MCMC-Methoden in einer Vielzahl von Bereichen fest etabliert haben. In Kapitel 1 versuchen wir, das Studium des Loop O(n) Modells zu motivieren. Ausgehend von einem historischen Überblick über die Entwicklung von {Gittermodellen} stellen wir das Ising-Modell vor, mit dessen Hilfe wir den Begriff der Phasenübergänge einführen. Das Kapitel 2 ist der Untersuchung des Loop O(n) Modells gewidmet. Nachdem wir das Modell definiert haben, formulieren wir die wichtigsten Vermutungen und Ergebnisse. Im weiteren Verlauf des Kapitels erarbeiten wir eine Auswahl dieser Ergebnissen. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf der Spin-Repräsentation des Loop O(n) Modells. Unter anderem werden wir zeigen, dass diese Spin-Repräsentation - in einem bestimmten Bereich von Parametern - die Fortuin-Kasteleyn-Ginibre (FKG) Ungleichung erfüllt. Wir schließen das Kapitel ab, indem wir ein bestimmtes Eindeutigkeitsresultat in Bezug auf Gibbs-Maße des Loop O(n) Modells beweisen. Das letzte Kapitel der Arbeit, Kapitel 2, ist Sampling-Methoden gewidmet, insbesondere den Markov-Chain-Monte-Carlo-Algorithmen. Nach einer einleitenden Diskussion über endliche Markov-Ketten stellen wir den Metropolis-Hastings-Algorithmus vor und geben einen kurzen Überblick über die Effizienz von MCMC-Algorithmen. Im weiteren Verlauf des Kapitels wird eine Auswahl von MCMC-Algorithmen für die Simulation des Loop O(n) Modells entwickelt. Die betrachteten Algorithmen sind die klassische Glauber-Dynamik, ein verallgemeinerter Swendsen-Wang-Algorithmus und ein moderner Algorithmus, der als Wurm-Algorithmus bezeichnet wird. Außerdem stellen wir eine vom Chayes-Machta-Algorithmus inspirierte Methode vor, mit der Sampling-Methoden vom Ising-Modell auf das Loop O(n) Modell übertragen werden können.
Abstract
(Englisch)
This thesis is devoted to the loop O(n) model and Markov-chain-Monte-Carlo methods aimed at simulating this model. The loop O(n) model is a two-parameter family of probability distributions supported on configurations of disjoint cycles on the hexagonal lattice. The loop O(n) model is subject of active research: early works proposed detailed predictions about its properties and behaviour, a significant portion of which are yet to be mathematically confirmed. Markov-chain-Monte-Carlo (MCMC) methods comprise a class of algorithms aimed at sampling probability distributions. While MCMC algorithms were initially limited by a lack of available computational resources, the rapid technological advances of the last decades have enabled MCMC methods to become firmly established tools in a diverse set of fields. In particular, by allowing for large-scale simulation studies of lattice models like the loop O(n) model, Monte-Carlo methods have aided the development of modern statistical mechanics. \newline In Chapter 1, we seek to motivate the study of the loop O(n) model. Starting with a historical account on the development of lattice models, we introduce the Ising model by means of which we introduce the notion of phase transitions. Chapter 2 is devoted to the study of the loop O(n) model. After defining the model, we state the main conjectures and results. In the rest of the chapter we present a selection of tools and mathematical results for the loop O(n) model. There, the primary object of study will be the spin representation of the loop O(n) model. Among other things, we will show that this spin representation -- in a specific range of parameters -- satisfies the Fortuin-Kasteleyn-Ginibre (FKG) inequality. This will eventually lead to the construction of thermodynamic limits. We conclude the chapter by showing a certain uniqueness result regarding Gibbs measures of the loop O(n) model. The final chapter of the thesis, Chapter 2, is dedicated to sampling methods, in particular Markov-chain-Monte-Carlo algorithms. After a preliminary discussion about finite Markov chains, we introduce the Metropolis-Hastings algorithm and give a brief account on the efficiency of MCMC algorithms. The remainder of the chapter will be spent developing a selection of MCMC algorithms for simulating the loop O(n) model. The algorithms under consideration are the classical Glauber dynamics, a generalized Swendsen-Wang algorithm and a modern algorithm termed Worm dynamics. We also present a method inspired by the Chayes-Machta algorithm which can be used to extend sampling methods from the Ising model to the loop O(n) model. In particular, the aforementioned generalized Swendsen-Wang algorithm is based on this extension methods. Along the way we will cover topics which are of independent interest beyond the realm of sampling methods. These include the{random-cluster model, the Edwards-Sokal coupling and the high-temperature expansion of the Ising model.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Loop O(n) Modell Wahrscheinlichkeitstheorie Ising Modell Statistische Physik Gittermodelle
Schlagwörter
(Englisch)
Loop O(n) model probability theory Ising model statistical physics lattice models
Autor*innen
David Beck-Tiefenbach
Haupttitel (Englisch)
The loop O(n) model and Monte Carlo methods in statistical mechanics
Paralleltitel (Deutsch)
Das Loop O(n) Modell und Monte-Carlo-Verfahren in der statistischen Mechanik
Publikationsjahr
2023
Umfangsangabe
iv, 58 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Alexander Glazman
Klassifikation
31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung
AC Nummer
AC17033479
Utheses ID
68221
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |