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The null distance on a spacetime
Carla Mladek
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Michael Kunzinger
DOI
10.25365/thesis.74877
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-16588.88721.989541-6
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Im Gegensatz zu Riemannschen Mannigfaltigkeiten besitzen Lorentzsche Mannigfaltigkeiten keine intrinsische Distanzfunktion, die durch die Metrik induziert wird. Diese Arbeit befasst sich mit einer Möglichkeit dieses Problem zu lösen, nämlich mit der Nulldistanz, die 2016 von C. Sormani und C. Vega eingeführt wurde. Man betrachtet Raumzeiten (d.h. Lorentzsche Mannigfaltigkeiten mit einer kausalen Struktur), die eine Zeitfunktion $\tau$ besitzen. Darauf definiert man die Nulllänge einer stückweisen kausalen Kurve als die Summe der $\tau$-Differenzen ihrer Bruchstellen. Die Nulldistanz $\hat{d}_{\tau}$ zweier Punkte in der Raumzeit ist das Infimum der Nulllängen aller stückweise kausalen Kurven zwischen den beiden Punkten. A priori ist $\hat{d}_{\tau}$ eine Pseudometrik. Wenn die Zeitfunktion zusätzlich eine Anti-Lipschitz-Bedingung erfüllt ist sie definit, also eine Metrik. In diesem Fall induziert sie auch die Mannigfaltigkeitstopologie. In Kapitel 5 diskutieren wir die Frage, unter welchen Umständen die Nulldistanz die kausale Struktur kodiert, d.h.~$\hat{d}_{\tau}(p,q) = \tau(q)-\tau(p) \Leftrightarrow p\leq q$. C. Sormani und C. Vega bewiesen 2016, dass dies für GRW-Raumzeiten gilt, wenn die Zeitfunktion die Form $\tau(t,x) = \phi(t)$ mit $\phi'>0$ hat. A. Burtscher und L. Garc\'{i}a-Heveling bewiesen 2022, dass das gilt, wenn $\tau$ eine temporale Cauchy-Zeitfunktion ist und die Raumzeit global hyperbolisch ist. Außerdem kodiert $\hat{d}_{\tau}$ die kausale Struktur lokal, wenn $\tau$ eine temporale Funktion ist. Kapitel 6 enthält das Resultat, dass eine Raumzeit genau dann global hyperbolisch ist, wenn es eine Zeitfunktion gibt, sodass die Mannigfaltigkeit mit der Nulldistanz (bezüglich dieser Zeitfunktion) ein vollständiger metrischer Raum ist. In Kapitel 4 finden sich bi-Lipschitz Schranken für die Nulldistanz.
Abstract
(Englisch)
Unlike Riemannian manifolds, Lorentzian manifolds do not carry an intrinsic distance function induced by the metric. This thesis explores one way of solving this problem, namely the null distance, introduced by C. Sormani and C. Vega in 2016. One considers spacetimes (i.e.~Lorentzian manifolds with a causal structure) admitting a time function $\tau$ and defines the null length of a piecewise causal curve as the sum of the $\tau$-differences of its breakpoints. The null distance $\hat{d}_{\tau}$ of two points in the spacetime is the infimum of the null length of all piecewise causal curves joining the two points. A priori $\hat{d}_{\tau}$ is a pseudometric but if the time function additionally satisfies an anti-Lipschitz condition it is definite, i.e. a metric. In this case it also induces the manifold topology. In chapter 5 we discuss the question under which circumstances the null distance encodes the causal structure, i.e. $\hat{d}_{\tau}(p,q) = \tau(q)-\tau(p) \Leftrightarrow p\leq q$. C. Sormani and C. Vega showed in 2016 that this is true in GRW spacetimes when the time function is of the form $\tau(t,x) = \phi(t)$ with $\phi'>0$. A. Burtscher and L. Garc\'{i}a-Heveling proved in 2022 that this holds if $\tau$ is a temporal Cauchy time function and the spacetime is globally hyperbolic. It also holds locally for temporal functions. Chapter 6 contains the result that a spacetime is globally hyperbolic if and only if there is a time function such that the manifold with null distance (with respect to this time function) becomes a complete metric space. In chapter 4 one can find bi-Lipschitz bounds for the null distance.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Nulldistanz Raumzeit Lorentzsche Geometrie Metrische Geometrie Mathematische Physik
Schlagwörter
(Englisch)
null distance spacetime Lorentzian geometry metric geometry mathematical physics
Autor*innen
Carla Mladek
Haupttitel (Englisch)
The null distance on a spacetime
Paralleltitel (Deutsch)
Die Nulldistanz auf einer Raumzeit
Publikationsjahr
2023
Umfangsangabe
vii, 62 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Michael Kunzinger
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.52 Differentialgeometrie ,
31 Mathematik > 31.59 Geometrie. Sonstiges
AC Nummer
AC17015288
Utheses ID
68294
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |