Detailansicht
The modified Camassa-Holm equation with nonvanishing boundary conditions by a Riemann-Hilbert approach
Iryna Karpenko
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (DissG: Mathematik)
Betreuer*innen
Dmitry Shepelsky ,
Gerald Teschl
DOI
10.25365/thesis.75551
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-28220.38358.740482-4
Link zu u:search
(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Das Ziel der Dissertation ist die inverse Streutransformation (IST) in der Form eines Riemann--Hilbert-Problems (RHP) für die modifizierte Camassa--Holm (mCH) Gleichung \begin{align*} &m_t+\left((u^2-u_x^2)m\right)_x=0,&\quad&m:= u-u_{xx} \end{align*} auf der Achse mit nichttrivialen Randverhalten zu entwickeln. Im ersten Teil (Kapitel 2 und 3) entwickeln wir den Riemann--Hilbert-Formalismus für das Cauchy-Problem auf der ganzen $x$-Achse für den Fall, dass die Lösung zu einer von Null verschiedenen Konstante f\"ur $|x|\to\infty$ konvergiert. In diesem Fall hat das Spektralproblem für das zugehörige Lax-Paar ein kontinuierliches Spektrum. Das erlaubt das inverse Spektralproblem als ein Riemann--Hilbert-Faktorisierungsproblem mit Sprungbedingung über die reelle Achse zu formulieren. Wir erhalten eine Darstellung für die Lösung des Cauchy-Problems für die mCH-Gleichung und auch eine Beschreibung bestimmter Solitonen-Typ-Lösungen, sowohl regulärer als auch nicht regulärer. Darüber hinaus verwenden wir die nichtlineare Methode des steilsten Abstiegs, um die Langzeit-Asymptotik zu untersuchen. Im zweiten Teil (Kapitel 4) entwickeln wir den Riemann--Hilbert-Formalismus für das Cauchy-Problem auf der ganzen $x$-Achse für den Fall, dass die Lösung zu zwei verschiedenen Konstanten f\"ur $x\to +\infty$ und $x\to -\infty$ konvergiert. Wir präsentieren detaillierte Eigenschaften der Spektralfunktionen, die mit den Anfangsdaten für das Cauchy-Problem der mCH-Gleichung assoziiert sind, und erhalten eine Darstellung für die Lösung dieses Problems in Bezug auf die Lösung eines zugehörigen RHPs.
Abstract
(Englisch)
This Thesis aims at the development of the Inverse Scattering Transform (IST), in the form of a Riemann--Hilbert problem, for the modified Camassa--Holm (mCH) equation \begin{align*} &m_t+\left((u^2-u_x^2)m\right)_x=0,&\quad&m:= u-u_{xx} \end{align*} on the line with non-zero boundary conditions. In the first part (Chapter 2 and 3), we develop the Riemann--Hilbert (RH) formalism to the Cauchy problem on the whole $x$-line in the case when the solution is assumed to approach a non-zero constant as $|x|\to\infty$. In this case, the spectral problem for the associated Lax pair has a continuous spectrum, which allows formulating the inverse spectral problem as a Riemann--Hilbert factorization problem with jump conditions across the real axis. We obtain a representation for the solution of the Cauchy problem for the mCH equation and also a description of certain soliton-type solutions, both regular and non-regular. Moreover, we apply the nonlinear steepest descent method to study the large-time asymptotics of the solution of this Cauchy problem. In the second part (Chapter 4), we develop the Riemann--Hilbert formalism for the Cauchy problem on the whole $x$-line in the case when the solution is assumed to approach two different constants as $x\to +\infty$ and $x\to -\infty$. We present detailed properties of spectral functions associated with the initial data for the Cauchy problem for the mCH equation and obtain a representation for the solution of this problem in terms of the solution of an associated RH problem.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
modifizierte Camassa-Holm-Gleichung Riemann-Hilbert-Problem inverse Streutransformation
Schlagwörter
(Englisch)
modified Camassa-Holm equation Riemann-Hilbert problem Inverse Scattering Transform
Autor*innen
Iryna Karpenko
Haupttitel (Englisch)
The modified Camassa-Holm equation with nonvanishing boundary conditions by a Riemann-Hilbert approach
Paralleltitel (Deutsch)
Die modifizierte Camassa-Holm-Gleichung mit nicht verschwindenden Randbedingungen durch einen Riemann-Hilbert-Zugang
Publikationsjahr
2023
Umfangsangabe
185 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Igor Skrypnik ,
Gino Biondini
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.40 Analysis. Allgemeines ,
31 Mathematik > 31.45 Partielle Differentialgleichungen
AC Nummer
AC17133380
Utheses ID
69435
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |