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Functions of variable bandwidth
a time-frequency approach
Roza Aceska
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Hans Georg Feichtinger
DOI
10.25365/thesis.7709
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-16405.68384.195637-7
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
In Anwendungen wie Signalverarbeitung ist es wirkungsvoller mit
Funktionen mit variabler Bandbreite zu arbeiten. Das Konzept der
variablen Bandbreite scheint, von einem praktischen Gesichtspunkt
aus, natürlich zu sein. Die Verwendung von bandbeschränkten Funktionen birgt einige Inkonsistenzen: Diese Funktionen sind holomorphe Funktionen der Zeit, weswegen die repräsentierten Signale niemals verschwinden können. Klarerweise aber sind physikalische Signale stets zeitlich begrenzt, welches die Verwendung von nicht-bandbeschränkten Funktionen motiviert. Viele Ansätze, die die Idee der Funktionen mit variabler Bandbreite zu beschreiben versuchen, haben ernste Defizite. Das könnte ein Grund sein, warum es erst wenig theoretische Arbeit auf diesem Gebiet gibt.
Wir schlagen vor, gewichtete Modulationsräume zu verwenden. Die
Theorie garantiert, dass Räume von Funktionen mit variabler Bandbreite unabhängig vom verwendeten Gaborsystem wohldefinert sind, invariant unter Zeit-Frequenz-Verschiebungen sind, eine geeignete atomare Zerlegung besitzen, und, am wichtigsten, Banachräume sind. Variable Bandbreite wird durch Gewichte auf der Zeit-Frequenz Ebene definiert. Wir verwenden Funktionen mit Zeit-Frequenz-Träger in einem Streifen, welcher mit der Zeit variieren kann. Das Gebiet ausserhalb wird mit einem starken Gewicht kontrolliert. Wir geben Bedingungen an, die versichern, dass Funktionen zu einem dieser Banachräume von Funktionen mit variabler Bandbreite gehören, sowie Kriterien, wann zwei solche Räume übereinstimmen, und unter welchen Umständen die Normen äquivalent sind. Wir zeigen, dass ein bestimmter solcher Banachraum nicht zu sensibel bezüglich Bandbreitenänderungen ist, und wir werden die atomare Zerlegung verwenden, um gute Approximationen zu gewinnen. Im $L^2$-Fall betrachten wir die reproducing-kernel Eigenschaft.
Abstract
(Englisch)
Although many methods are tailored towards the use of band-limited
signals, for applications in signal processing it would be more appropriate to work with functions that have variable bandwidth.
From a practical point of view, the concept of variable bandwidth sounds like a very natural one and has an intuitive meaning. Moreover, from a strictly mathematical point of view there is a bit of an inconsistency: functions of limited bandwidth are entire functions of time, that is, the represented signals go on forever and cannot have compact support (in a strict sense). Real-world signals are, by necessity, time limited; this means using functions which are not band limited. Various natural approaches found in the literature, trying to describe the idea of functions of variable bandwidth in one or the other way have serious shortcomings. This might also be the reason why one finds little theoretical work on this topic.
We suggest a new approach to this concept, using the theory of modulation spaces, suitably adapted by working with customized weights which help to express the idea in a mathematical sound way. The general theory grants that variable bandwidth (VB) spaces are well-defined independent from the used Gabor system, invariant under time-frequency shifts and possess suitable atomic decompositions. Starting from a moderate function describing the behavior of the local bandwidth one obtains a Banach space, which behaves locally more or less like a Sobolev space (of some fixed, high order).
More precisely, we define the variable bandwidth via a special weight on
the time-frequency plane. We consider functions with essential
time-frequency in a strip which varies through time and control the
outside area with a very strong weight. We give the conditions that
ensure that a function belongs to a space of variable bandwidth as well as the criteria for two of these spaces to coincide, with equivalent norms. We show that a particular space is not too sensitive to bandwidth changes and we use atomic decompositions to achieve good approximations. For the $L^2$-case, we take a look at the reproducing kernel property.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Time-frequency analysis Gabor analysis modulation spaces variable bandwidth
Schlagwörter
(Deutsch)
Zeit-Frequenz-Analyse Gabor-Analyse Modulationsräume variable Bandbreite
Autor*innen
Roza Aceska
Haupttitel (Englisch)
Functions of variable bandwidth
Hauptuntertitel (Englisch)
a time-frequency approach
Paralleltitel (Deutsch)
Funktionen mit variabler Bandbreite ; ein Zeit-Frequenz-Ansatz
Publikationsjahr
2009
Umfangsangabe
X, 122 S. : Ill., graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Stevan Pilipovic ,
Massimo Fornasier
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.35 Harmonische Analyse ,
31 Mathematik > 31.80 Angewandte Mathematik
AC Nummer
AC07452385
Utheses ID
6948
Studienkennzahl
UA | 091 | 405 | |