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Random lattice walks in a Weyl chamber of type A or B and non-intersecting lattice paths
Thomas Feierl
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Christian Krattenthaler
DOI
10.25365/thesis.7713
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29962.19644.256363-2
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit zwei eng verwandten Modellen:
Gitterpfaden in einer Weylkammer vom Typ B und nichtüberschneidenden
Gitterpfaden im ganzzahligen Gitter aufgespannt durch die Vektoren
{(1,1),(1,-1)} mit Schritten aus dieser Menge.
Diese Gitterpfadmodelle sind von zentraler Bedeutung z.B. in der Kombinatorik und der statistischen Mechanik.
In der statistischen Mechanik dienen diese Modelle der Beschreibung bestimmter
nicht-kollidierender Teilchen-Systeme.
Die Bedeutung von Gitterpfadmodellen in der Kombinatorik ist teilweise begründet durch
ihre interessanten kombinatorischen Eigenschaften, vor allem aber auch
durch die engen Beziehungen zu zahlreichen zentralen kombinatorischen Objekten wie
z.B. Integer Partitions, Plane Partitions und Young Tableaux.
Im ersten Teil dieser Arbeit werden asymptotische Formeln für die Anzahl von
Gitterpfaden in einer Weylkammer vom Typ B für eine allgemeine Klasse von Schritten hergeleitet.
Die Klasse der zulässigen Schritte wird hierbei durch die Forderung der "Reflektierbarkeit" der resultierenden Pfade beschränkt.
Spezialfälle dieser asymptotischen Formel lösen in der Literatur aufgeworfene Probleme und liefern bekannte Resultate für zweidimensionale Vicious Walkers
Modelle und sogenannte k-non-crossing tangled diagrams.
Im zweiten Teil werden die Zufallsvariablen "Höhe" und "Ausdehnung" auf der
Menge aller nichtüberschneidenden Gitterpfade mit n Schritten sowie auf der
Teilmenge all jener auf die obere Halbebene beschränkten nichtüberschneidenden Gitterpfade
mit n Schritten studiert.
Unter der Annahme einer Gleichverteilung auf diesen Mengen wird die asymptotische Verteilung beider Zufallsvariablen bestimmt.
Weiters werden die ersten beiden Terme der asymptotischen Entwicklung aller
Momente der Zufallsvariable "Höhe" ermittelt.
Dies löst ein in der Literatur aufgeworfenes Problem, und verallgemeinert ein
bekanntes Resultat über die Höhe ebener Wurzelbäume.
Abstract
(Englisch)
This thesis is concerned with two closely related lattice walk models: lattice walks
in a Weyl chamber type B and non-intersecting lattice paths on the integer lattice
spanned by the vectors {(1,1),(1,-1)} with steps from this set.
These models play an important role in, e.g., combinatorics and statistical mechanics.
In statistical mechanics, non-intersecting lattice paths serve as models for certain non-colliding particle systems.
From a combinatorial point of view, lattice paths models are very natural objects to study, partly because of their intrinsic interesting combinatorics,
and partly because of their close relationship to many other important
combinatorial structures, such as integer partitions, plane partitions and Young tableaux.
In the first part of this thesis, we determine asymptotics for the number of lattice walks in a Weyl chamber of type B for a general class of steps.
The class of admissible steps is determined by requiring the walks to be "reflectable".
As special cases, these asymptotics include several results found in the
literature, e.g., asymptotics for certain vicious walkers models and k-non-crossing tangled diagrams.
In the second part of this thesis we study the random variables "height" and "range"
on the set of non-intersecting lattice paths of length n as well as on the subset of those non-intersecting lattice paths of length n that are confined to
the upper half plane.
Assuming the uniform probability distribution on these sets, we determine the asymptotic distribution of both random variables as the number of steps tends to
infinity as well as first and second order asymptotics for all moments of the random variable "height".
This solves a problem raised in the literature, and generalises a well-known
result on the height of random planted plane trees.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
random lattice walks Weyl chamber non-intersecting vicious walkers asymtotics height moments distribution determinants
Schlagwörter
(Deutsch)
zufällige Gitterpfade Weylkammer nichtüberschneidend vicious walkers Asymptotik Höhe Momente Verteilung Determinanten
Autor*innen
Thomas Feierl
Haupttitel (Englisch)
Random lattice walks in a Weyl chamber of type A or B and non-intersecting lattice paths
Paralleltitel (Deutsch)
Zufällige Gitterpfade in einer Weylkammer vom Typ A oder B und nichtüberschneidende Gitterpfade
Publikationsjahr
2009
Umfangsangabe
V, 103 S. : graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Jean-François Marckert ,
Bruno Salvy
Klassifikation
31 Mathematik > 31.12 Kombinatorik, Graphentheorie
AC Nummer
AC07806057
Utheses ID
6949
Studienkennzahl
UA | 091 | 405 | |