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On a differential calculus for metric measure spaces
Darius Erös
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Michael Kunzinger
DOI
10.25365/thesis.75262
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-15817.57619.404760-1
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Über die letzten Jahre hinweg ist es zu einem stetigen Anstieg des Interesses am geometrischen Studium von Räumen gekommen, die einem scheinbar keine Möglichkeit bieten, auf ihnen Mittel der Differentialrechnung anzuwenden. Zu dieser Klasse an Räumen gehören metrische Maßräume, die lediglich mit Begriffen von Distanz und Volumen ausgestattet sind. Diesem Fehlen an Struktur zum Trotz ist es gelungen, Analogien von 1-Formen, Vektorfeldern und Differentialen im diesem Kontext zu definieren, indem ein variationeller Blickwinkel eingenommen wurde. Das Ziel dieser Arbeit ist es nun, einen solchen Zugang, der vor allem von Nicola Gigli entwickelt wurde und auf einem Sobolev-Kalkül und der Theorie normierter Moduln aufbaut, näher zu durchleuchten. Dazu werden wir zunächst einige Zeit aufwenden, um eine Perspektive auf schwache Oberhalb-Gradienten über Test Pläne zu diskutieren, die uns eine Klasse an differenzierbaren Funktionen liefert, und anschließend normierte Moduln einführen, die es uns erlauben, gewohnte Bündelkonstruktionen durchzuführen. Schließlich werden wir ein Differentialkalkül erster Ordnung einführen können, das aus Tangential- und Cotangentialmoduln zusammen mit einem Begriff eines Differentials für strukturerhaltende Abbildungen besteht. Bei all dem ist ein starker Fokus auf das Bereitstellen ausführlicher und vollständiger Beweise gelegt worden, sowie auch darauf, motivierende Beispiele aus der glatten Differentialgeometrie zu liefern.
Abstract
(Englisch)
The last few decades have seen an increasing interest in the geometric study of spaces seemingly incapable of supporting any sort of differential calculus. Among these are metric measure spaces, which a priori only come equipped with notions of distance and volume. Despite this lack of structure, however, efforts have succeeded in building a framework for analogues of one-forms, vector fields and differentials in this setting by adopting a variational point of view. The goal of this thesis is to explore such an approach, put forth in large parts by Nicola Gigli, building on Sobolev calculus and the theory of normed modules. To do so, we first spend some time discussing a perspective on weak upper gradients via test plans, providing us with a class of differentiable functions, and then move on to introduce normed modules, allowing us to perform bundle constructions in an appropriate sense. Finally, we establish a first-order differential calculus consisting of tangent and cotangent modules together with a notion of differentials for structure preserving maps. In all of this, a strong emphasis is put on giving full and detailed proofs, as well as on providing motivational examples from smooth differential geometry.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Metrische Geometrie Variationsrechnung Funktionalanalysis Normierte Moduln Sobolev-Räume
Schlagwörter
(Englisch)
metric geometry calculus of variations functional analysis normed modules Sobolev spaces
Autor*innen
Darius Erös
Haupttitel (Englisch)
On a differential calculus for metric measure spaces
Paralleltitel (Deutsch)
Über ein Differentialkalkül für metrische Maßräume
Publikationsjahr
2023
Umfangsangabe
101 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Michael Kunzinger
Klassifikation
31 Mathematik > 31.52 Differentialgeometrie
AC Nummer
AC17084065
Utheses ID
69551
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |