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Equivalence of topologies spanned by the Knothe-Rosenblatt and the adapted Wasserstein distance
Alexander Posch
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Mathias Beiglböck
DOI
10.25365/thesis.75038
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-27553.55550.616347-6
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
In dieser Masterarbeit erweitern wir die Knothe-Rosenblatt Kopplung auf Wahrscheinlichkeitsmaße auf beliebigen polnischen metrischen Räumen. Wir nutzen diese Knothe-Rosenblatt Kopplungen zur Definition der p-Knothe-Rosenblatt Distanz und zeigen, dass diese Distanz eine Metrik auf $\mathcal{P}(\mathbb{R}^n,||.||_{p})$ bildet. Für beliebige Räume ist dies jedoch nicht der Fall. Wir zeigen anhand eines Beispiels, dass die Dreiecksungleichung im Allgemeinen nicht immer erfüllt ist. In Theorem 3.4, dem Hauptresultat, zeigen wir dass die Knothe-Rosenblatt Distanz dieselbe Topologie wie die adaptierte Wasserstein Distanz aufspannt. Dieses Resultat ist von Interesse, da die p-Knothe-Rosenblatt Distanz oft leichter zu berechnen ist als die adaptierte Wasserstein Distanz. Das Theorem erweitert das Statement in [All adapted topologies are equal, Backhoff-Veraguas, J., Bartl, D., Beiglböck, M., & Eder, M. (2020)] in dem die Äquivalenz vier weiterer Ansätze die adaptierte Wasserstein Topologien zu definieren gezeigt wird. Unser Beweis erfolgt durch Induktion über die Zeitschritte. Schließlich zeigen wir, dass, für $\X$ kompakt, $\mathcal{P}(\X^n,||.||_{p})$, der Raum der stochastischen Prozesse auf $\X$ mit $n>1$ Zeitschritten, ausgestattet mit der p-Knothe-Rosenblatt Distanz, nicht notwendigerweise präkompakt ist. $\mathcal{P}(\X^n,||.||_{p})$, ausgestattet mit der adaptierten p-Wasserstein Distanz, ist dagegen präkompakt.
Abstract
(Englisch)
In this master's thesis, we extend the Knothe-Rosenblatt coupling to probability measures on arbitrary Polish metric spaces. We use such couplings to define the p-Knothe-Rosenblatt distance and show that this distance forms a metric on $\mathcal{P}(\mathbb{R}^n,||.||_{p})$. However, we show with an example that this does not hold for arbitrary spaces because the p-Knothe-Rosenblatt distance does not necessarily satisfy the triangle inequality. In Theorem 3.4, the main result, we show that the p-Knothe-Rosenblatt distance spans the same topology as the adapted p-Wasserstein distance. This result is of interest since the p-Knothe-Rosenblatt distance is often simpler to calculate than the adapted p-Wasserstein distance. The theorem extends the statement in [All adapted topologies are equal, Backhoff-Veraguas, J., Bartl, D., Beiglböck, M., & Eder, M. (2020)], where the equivalence of four further approaches for adapted Wasserstein topologies is demonstrated. Our proof is by induction over the time steps. Finally, we show that for $\X$ compact $\mathcal{P}(\X^n,||.||_{p})$, the space of stochastic processes on $\X$ with $n>1$ time steps equipped with the p-Knothe-Rosenblatt distance is not necessarily precompact. In contrast $\mathcal{P}(\X^n,||.||_{p})$ equipped with the adapted p-Wasserstein distance is precompact.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Knothe-Rosenblatt Adapted Wasserstein Dreiecksweise zunehmender Transport
Schlagwörter
(Englisch)
Knothe-Rosenblatt Adapted Wasserstein Triangular increasing coupling
Autor*innen
Alexander Posch
Haupttitel (Englisch)
Equivalence of topologies spanned by the Knothe-Rosenblatt and the adapted Wasserstein distance
Paralleltitel (Deutsch)
Äquivalenz der durch die Knothe-Rosenblatt Distanz und die adapted Wasserstein Distanz erzeugten Topologien
Publikationsjahr
2023
Umfangsangabe
27 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Mathias Beiglböck
Klassifikation
31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung
AC Nummer
AC17035405
Utheses ID
69712
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |