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Forcing combinatorics, compact partitions, cofinitary groups and Van Douwen families

Lukas Schembecker

Art der Arbeit

Dissertation

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Mathematik

Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)

Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (DissG: Mathematik)

Betreuer*in

Vera Fischer

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DOI

10.25365/thesis.75636

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-21767.87928.848694-4

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Abstracts

Abstract

(Deutsch)

Die Doktorarbeit ist eine Zusammenstellung von vier eingereichten Artikeln und zwei Preprints zu Resultaten im Gebiet der kombinatorischen Mengenlehre. Alle präsentierten Resultate zielen darauf ab, Anwendungen von Forcing auf die Existenz von verschiedenen maximalen kombinatorischen Familien gewünschter Kardinalität und die Relationen zwischen der Existenz solcher Familien zu studieren. Die Menge aller Kardinalitäten von maximalen kombinatorischen Familien reeller Zahlen eines bestimmten Types wird als Spektrum bezeichnet; dessen Minimum wird als Kardinalzahlcharakteristik bezeichnet. Expliziter werden Forcings studiert, welche kombinatorische Familien konstruieren, erweitern und erhalten können um verschiedene Spektra zu realisieren und Kardinalzahlcharakteristiken voneinander zu trennen. Die Typen von Familien zentraler Bedeutung für diese Arbeit sind Partitionen des Baire Raumes in kompakte Mengen, kofinitäre Gruppen und Van Douwen Familien, welche zu den Kardinalzahlcharakteristiken $\mathfrak{a}_{\text{T}}$, $\mathfrak{a}_{\text{g}}$ und $\mathfrak{a}_{\text{v}}$ korrespondieren. Der erste Artikel studiert ein Forcing, welches neue Partitionen des Baire Raumes in kompakte Mengen gewünschter Größe hinzufügt. Die Menge der Kardinalitäten solcher Partitionen wird mit $\text{spec}(\mathfrak{a}_{\text{T}})$ bezeichnet; dessen Minimum ist die Kardinalzahlcharakteristik $\mathfrak{a}_{\text{T}}$. Unter {\sf CH} konstruieren wir eine Partition des Baire Raumes in kompakte Mengen, welche durch abzählbar gestützte Iterationen und Produkte von Sacks-Forcing jeder Länge erhalten bleibt. Dies beantwortet eine Frage von Newelski. Als Anwendung legen wir ein Isomorphie-von-Namen Argument für $\text{spec}(\mathfrak{a}_{\text{T}}) = \{\aleph_1, \mathfrak{c}\}$ im Produkt-Sacks Modell vor. Abschließend zeigen wir, dass Shelah's Ultrapower Modell für die Konsistenz von $\mathfrak{d} < \mathfrak{a}$ auch $\mathfrak{a} = \mathfrak{a}_{\text{T}}$ erfüllt. Dadurch ist $\aleph_1 < \mathfrak{d} < \mathfrak{a} = \mathfrak{a}_{\text{T}}$ konsistent relativ zu einer messbaren Kardinalzahl. Der zweite Artikel zielt darauf ab, unsere Konstruktion einer Partition des Baire Raumes in kompakte Mengen, welche durch abzählbar gestützte Iterationen und Produkte von Sacks-Forcing jeder Länge erhalten bleibt, für andere kombinatorische Familien zu generalisieren. Wir definieren, dass eine kombinatorische Familie universell Sacks-unzerstörbar ist, wenn diese von jeder abzählbar gestützten Iteration und Produkt von Sacks-Forcing jeder Länge erhalten bleibt. Wir führen den Begriff eines arithmetischen Typs einer kombinatorischen Familie ein, welche verschiedene Typen von Familien generalisiert, wie zum Beispiel maximale fast disjunkte Familien, maximale kofinitäre Gruppen, Ultrafilter Basen, Spaltungsfamilien und andere ähnliche Familien, die in kombinatorischer Mengenlehre studiert werden. Wir beweisen, dass jede arithmetische kombinatorische Familie, die von dem abzählbaren Produkt von Sacks-Forcing erhalten bleibt, universell Sacks-unzerstörbar ist. Des Weiteren präsentieren wir unter {\sf CH} eine vereinheitlichte Konstruktion einer universell Sacks-unzerstörbaren Familie für verschieden arithmetischen Typen von Familien. Insbesondere beweisen wir die Existenz einer universell Sacks-unzerstörbaren maximalen kofinitären Gruppe unter {\sf CH}. Der dritte Artikel erweitert die aktuellen Beweistechniken für die Realisierung verschiedener Spektra von $\mathfrak{a}_{\text{T}}$. Das beste Resultat in diesem Kontext von Brian kann, sobald ein Minimum für das Spektrum fixiert wurde, nur beschränkte Spektra von $\mathfrak{a}_{\text{T}}$ realisieren. Unter der zusätzlichen Annahme von $\aleph_1 \in \text{spec}(\mathfrak{a}_{\text{T}})$ entfernen wir diese Beschränktheitsannahme um unbeschränkte Spektra realisieren zu können. Dadurch erhalten wir einen wesentlichen Fortschritt dabei, die Frage von Brian zu beantworten, ob diese Beschränktheitsannahme vollständig entfernt werden kann. Als ein Nebenprodukt erhalten wir dabei viele vollständige Unterforcings und eine algebraische Analyse der Automorphismen des Forcings welche einen Zeugen für das Spektrum von $\mathfrak{a}_{\text{T}}$ gewünschter Größe hinzufügt. Im vierten Artikel führen wir den Begriff der Dichtheit für maximale kofinitäre Gruppen ein, welche Forcingunzerstörbarkeit von maximalen kofinitären Gruppen für eine Reihe von Forcings, wie Cohen, Sacks, Miller, Miller Partition Forcing und Shelah's Forcing um maximale Ideale zu diagonalisieren, umfasst. Wir zeigen die Existenz einer solchen dichten kofinitären Gruppe unter {\sf MA}($\sigma$-centered). Des Weiteren begründen wir die Konsistenz eines koanalytischen Zeugen für $\aG$ der Größe $\aleph_1$ zusammen mit $\d = \aleph_1 < \aleph_2 = \c$ und der Existenz einer $\Delta^1_3$-definierbaren Wohlordnung der reellen Zahlen. Zu diesem Zweck entwickeln wir eine neue robuste Codierungstechnik für kofinitäre Gruppen, in dieser eine reelle Zahl in die Länge der Bahnen eines jeden neuen Wortes codiert wird. Entscheidend ist, dass verglichen zu anderen Codierungsmethoden für kofinitäre Gruppen unsere Codierungsmethode parameterlos ist und daher auf Gruppen überabzählbarer Größe angewendet werden kann. Des Weiteren, da wir in Bahnen kodieren, hält ein stärkeres generisches Treffargument, welches für Dichtheit benötigt wird. Das erste Preprint betrachtet die Isomorphietypen von (maximalen) kofinitären Gruppen. Im Allgemeinen ist die vollständige Klassifizierung der möglichen Isomorphietypen von (maximalen) kofinitären Gruppen offen, aber es gibt verschiedene Teilresultate. Zum Beispiel beweist Kastermans, dass konsistent $\bigoplus_{\aleph_1} \mathbb{Z}_2$ eine kofinitäre Wirkung haben kann. Wir verbessern dieses Resultat indem wir zeigen, dass {\sf ZFC} schon für den Beweis der Existenz einer kofinitären Wirkung von $\bigoplus_{\mathfrak{c}} \mathbb{Z}_2$ ausreicht. Abschließend stellen wir im zweiten Preprint neue Resultate zu Van Douwen Familien vor. Van Douwen Familien sind maximale schließlich verschiedene Familien, welche maximal bleiben, wenn die Domänen aller Funktionen zu einer unendlichen Menge eingeschränkt werden. Wir zeigen, dass ähnlich wie das Spektrum von $\a$ und $\aT$ auch das Spektrum von Van Douwen Familien unter singulären Limiten abgeschlossen ist. Des Weiteren hat Raghavan für jede maximale schließlich verschiedene Familie ein assoziiertes Ideal eingeführt, welches misst, wie weit diese Familie davon entfernt ist Van Douwen zu sein. Unter {\sf CH} zeigen wir, dass jedes nichtprinzipale Ideal als das assoziierte Ideal einer maximalen schließlich verschiedenen Familie realisiert werden kann, sodass viele verschiedene Familien existieren, die nicht Van Douwen sind. Abschließend beweisen wir, dass das Standardforcing, welches ein gewünschtes Spektrum von $\aE$ realisiert, dasselbe Spektrum auch für $\a$ erzwingt.

Abstract

(Englisch)

This doctoral thesis is a compilation of four submitted publications and in addition two further preprints containing various results in combinatorial set theory. All presented results aim to study applications of forcing to the existence of various maximal combinatorial families of reals of desired cardinalities, as well as the relations between the existence of combinatorial families of different types. The set of cardinalities of maximal combinatorial families of reals of a certain type is called its spectrum, whereas the minimal cardinal in the spectrum is called the corresponding cardinal characteristic. More explicitly, we study forcing notions to construct, extend and preserve various types of combinatorial families of reals in order to realize various spectra and separate different cardinal characteristics from one another. The types of families of central interest for this thesis are partitions of Baire space into compact sets, cofinitary groups and Van Douwen families, which correspond to the cardinal characteristics $\mathfrak{a}_{\text{T}}$, $\mathfrak{a}_{\text{g}}$ and $\mathfrak{a}_{\text{v}}$, respectively. The first paper constituting the thesis studies a forcing notion to add a partition of Baire space into compact sets of desired size. The set of cardinalities of such partitions is denoted by $\text{spec}(\mathfrak{a}_{\text{T}})$ and its minimum is the cardinal characteristic $\mathfrak{a}_{\text{T}}$. Under {\sf CH} we construct a partition of Baire space into compact sets, which is indestructible by countably supported iterations or products of Sacks forcing of any length, thus answering a question of NewelskiThis doctoral thesis is a compilation of four submitted publications and in addition two further preprints containing various results in combinatorial set theory. All presented results aim to study applications of forcing to the existence of various maximal combinatorial families of reals of desired cardinalities, as well as the relations between the existence of combinatorial families of different types. The set of cardinalities of maximal combinatorial families of reals of a certain type is called its spectrum, whereas the minimal cardinal in the spectrum is called the corresponding cardinal characteristic. More explicitly, we study forcing notions to construct, extend and preserve various types of combinatorial families of reals in order to realize various spectra and separate different cardinal characteristics from one another. The types of families of central interest for this thesis are partitions of Baire space into compact sets, cofinitary groups and Van Douwen families, which correspond to the cardinal characteristics $\mathfrak{a}_{\text{T}}$, $\mathfrak{a}_{\text{g}}$ and $\mathfrak{a}_{\text{v}}$, respectively. The first paper constituting the thesis studies a forcing notion to add a partition of Baire space into compact sets of desired size. The set of cardinalities of such partitions is denoted by $\text{spec}(\mathfrak{a}_{\text{T}})$ and its minimum is the cardinal characteristic $\mathfrak{a}_{\text{T}}$. Under {\sf CH} we construct a partition of Baire space into compact sets, which is indestructible by countably supported iterations or products of Sacks forcing of any length, thus answering a question of Newelski. As an application, we provide an in-depth isomorphism-of-names argument for $\text{spec}(\mathfrak{a}_{\text{T}}) = \{\aleph_1, \mathfrak{c}\}$ in product-Sacks models. Finally, we prove that Shelah's ultrapower model for the consistency of $\mathfrak{d} < \mathfrak{a}$ satisfies $\mathfrak{a} = \mathfrak{a}_{\text{T}}$. Thus, consistently $\aleph_1 < \mathfrak{d} < \mathfrak{a} = \mathfrak{a}_{\text{T}}$ holds relative to a measurable. The second paper aims to generalize our construction of a partition of Baire space into compacts sets, which is indestructible by any product or iteration of Sacks forcing, to other combinatorial families. Say a combinatorial family of reals is universally Sacks-indestructible if it is indestructible by any countably supported iteration or product of Sacks forcing of any length. We introduce the notion of an arithmetical type of combinatorial family of reals, which serves to generalize different types of families such as mad families, maximal cofinitary groups, ultrafilter bases, splitting families and other similar types of families commonly studied in combinatorial set theory. We prove that every combinatorial family of reals of arithmetical type, which is indestructible by the countable product of Sacks forcing, is in fact universally Sacks-indestructible. Further, under {\sf CH} we present a unified construction of universally Sacks-indestructible families for various arithmetical types of families. In particular, we prove the existence of a universally Sacks-indestructible maximal cofinitary group under {\sf CH}. The third paper extends the state-of-the-art proof techniques for realizing various spectra of $\mathfrak{a}_{\text{T}}$. The best result in this context by Brian may only realize a certain bounded spectrum of $\mathfrak{a}_{\text{T}}$ once some minimum for the desired spectrum is fixed. Under the additional assumption $\aleph_1 \in \text{spec}(\mathfrak{a}_{\text{T}})$ we remove this boundedness assumption in order to realize arbitrarily large spectra. Thus, we make significant progress in addressing the question posed by Brian if the boundedness assumption may be completely removed. As a by-product, we obtain many complete subforcings and an algebraic analysis of the automorphisms of the forcing which adds a witness for the spectrum of $\mathfrak{a}_{\text{T}}$ of desired size. The fourth paper introduces the notion of tightness for maximal cofinitary groups, which captures forcing indestructibility of maximal cofinitary groups for a long list of partial orders, including Cohen, Sacks, Miller, Miller partition forcing and Shelah's poset for diagonalizing maximal ideals. We prove the existence of such a tight cofinitary group under {\sf MA}($\sigma$-centered). Further, we establish the consistency of a co-analytic witness for $\aG$ of size $\aleph_1$ together with $\d = \aleph_1 < \aleph_2 = \c$ and the existence of a $\Delta^1_3$-definable well-order of the reals. Towards this end, we develop a new robust coding technique for cofinitary groups, where a real is coded into the lengths of orbits of every new word. Crucially, compared to other coding techniques for cofinitary groups our new coding is parameter-less and hence may be applied to groups of uncountable size. Furthermore, as we code into orbits rather than actual function values, a more general generic hitting lemma required for tightness holds. In the manuscript we consider the isomorphism types of (maximal) cofinitary groups. In general, a full classification of the possible isomorphism types of (maximal) cofinitary groups is open, but there a various partial results. For example, Kastermans proved that consistently $\bigoplus_{\aleph_1} \mathbb{Z}_2$ may have a cofinitary action. We improve this result by showing that {\sf ZFC} already proves the existence of a cofinitary action of $\bigoplus_{\mathfrak{c}} \mathbb{Z}_2$. Finally, we provide some new results regarding Van Douwen families. Van Douwen families are maximal eventually different families that remain maximal after restricting the domains of all functions to any infinite subset. First, we show that similar to the spectrum of $\a$ and $\aT$, the spectrum of Van Douwen families is closed under singular limits. Further, for any maximal eventually different family Raghavan defined an associated ideal which measures how far the family is from being Van Douwen. Under {\sf CH} we prove that every non-principal ideal is realized as the associated ideal of some maximal eventually different family, i.e. there are many different non Van Douwen families. Finally, we show that the standard forcing realizing a desired spectrum of $\aE$ forces $\a$ to have the same spectrum.

Autor*innen

Lukas Schembecker

Haupttitel (Englisch)

Forcing combinatorics, compact partitions, cofinitary groups and Van Douwen families

Paralleltitel (Deutsch)

Forcing Kombinatorik, kompakte Partitionen, kofinitäre Gruppen und Van Douwen Familien

Publikationsjahr

2024

Umfangsangabe

x, 141 Seiten : Illustrationen

Sprache

Englisch

Beurteiler*innen

Justin Moore ,

Alan Dow

Klassifikation

31 Mathematik > 31.10 Mathematische Logik. Mengenlehre

AC Nummer

AC17150108

Utheses ID

70044

Studienkennzahl

UA | 796 | 605 | 405 |

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Schlagwörter