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Quasi-isometries for two-dimensional right-angled Coxeter groups
Alexandra Edletzberger
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (DissG: Mathematik)
Betreuer*innen
Christopher Cashen ,
Goulnara Arzhantseva
DOI
10.25365/thesis.76555
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-14873.09561.647247-8
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Das Quasi-Isometrie-Problem ist ein fundamentales Problem im Feld der geometrischen Gruppentheorie. Dieses Problem fragt, ob zwei gegebene Gruppen die gleiche großmaßstäbliche Geometrie haben oder nicht und es wurde bereits für viele Klassen von Gruppen untersucht. Aufgrund ihres geometrischen Ursprungs wurde der Klasse der rechtwinkligen Coxeter-Gruppen, die von Coxeter eingeführt wurden, viel Aufmerksamkeit gewidmet. Ihr Quasi-Isometrie-Problem wurde allerdings nur unter strengen Annahmen wie Hyperbolizität oder Planarität des definierenden Graphs untersucht. In der vorliegenden Dissertation wird das Quasi-Isometrie-Problem für eine große Klasse zwei-dimensionaler rechtwinkliger Coxeter-Gruppen verbessert. Insbesondere fokussieren wir uns auf zwei Spezialisierungen des Problems: Quasi-Isometrien werden zum einen innerhalb der Klasse der rechtwinkligen Coxeter-Gruppen gesucht und zum anderen zwischen rechtwinkligen Coxeter-Gruppen und den eng verwandten rechtwinkligen Artin-Gruppen. In Kapitel 1 geben wir einen Überblick über den Status Quo des Problems. Die von uns gewählten Methoden, um das Problem zu adressieren, sind der JSJ-Zylinder-Graph und der Graph der maximalen Produkte. Diese beiden Gruppen-Zerlegungen werden in Kapitel 2 eingeführt. In Kapitel 3 wird eine visuelle Konstruktion des JSJ-Zylinder-Graphs von rechtwinkligen Coxeter-Gruppen entwickelt und durch die Nutzung der Struktur-Invariante von Cashen-Martin als Quasi-Isometrie-Invariante etabliert. Zusätzlich zeigen wir, dass unter einer weiteren Annahme die Quasi-Isometrie-Invariante für eine gewisse Klasse von rechtwinkligen Coxeter-Gruppen vollständig ist. Sie wird genutzt, um neue Beispiele von nicht-hyperbolischen rechtwinkligen Coxeter-Gruppen zu finden, die quasi-isometrisch, aber nicht kommensurabel sind. In Kapitel 4 wird der Unterschied zwischen rechtwinkligen Coxeter-Gruppen und rechtwinkligen Artin-Gruppen in Bezug auf Quasi-Isometrien untersucht. Die Dani-Levcovitz-Konstruktion für visuelle rechtwinklige Artin-Untergruppen von rechtwinkligen Coxeter-Gruppen mit endlichem Index wird eingeführt und deren Algorithmus verbessert. Dann werden mit Hilfe der Struktur-Invariante und des Graphs der maximalen Produkte neue Techniken entwickelt, um rechtwinklige Coxeter-Gruppen zu finden, die zu keiner rechtwinkligen Artin-Gruppe quasi-isometrisch ist.
Abstract
(Englisch)
The Quasi-Isometry Problem is a fundamental problem in the field of geometric group theory. It asks whether or not two given groups share the same large-scale geometry and it has been investigated for many classes of groups. Due to its geometric origin, the class of Right-Angled Coxeter groups (RACGs), introduced by Coxeter, has received a lot of attention. However, their Quasi-Isometry Problem has only been investigated under additional strong assumptions like hyperbolicity or planarity of the defining graph. In the present thesis, we advance the Quasi-Isometry Problem for a large class of two-dimensional RACGs. In particular, we focus on two specifications of the problem: Finding quasi-isometries within the class of RACGs and between RACGs and the closely related Right-Angled Artin groups (RAAGs). In Section 1, we give an overview of the status quo of the problem. Our tools of choice to address this problem are the JSJ tree of cylinders and the maximal product region graph. These two decompositions of groups are introduced in Section 2. Section 3, provides the visual construction of the JSJ tree of cylinders of RACGs and establishes it as quasi-isometry-invariant by the use of the structure invariant of Cashen-Martin. In addition, we show that under a certain additional assumption the quasi-isometry-invariant is a complete quasi-isometry-invariant for a certain class of RACGs. It is used to provide new examples of non-hyperbolic RACGs that are quasi-isometric but not commensurable. In Section 4, the difference between RACGs and RAAGs up to quasi-isometry is investigated. The Dani-Levcovitz construction for finite index visual RAAG subgroups of RACGs is introduced and their algorithm is improved. Then, by use of the structure invariant as well as the maximal product region graph, new techniques are developed to find RACGs that are not quasi-isometric to any RAAG.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
rechtwinklige Coxeter-Gruppen rechtwinklige Artin-Gruppen Quasi-Isometrien
Schlagwörter
(Englisch)
right-angled Coxeter groups right-angled Artin groups quasi-isometries
Autor*innen
Alexandra Edletzberger
Haupttitel (Englisch)
Quasi-isometries for two-dimensional right-angled Coxeter groups
Paralleltitel (Deutsch)
Quasi-Isometrien für zweidimensionale rechtwinklige Coxeter-Gruppen
Publikationsjahr
2024
Umfangsangabe
104 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Jason Behrstock ,
Anne Thomas
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.21 Gruppentheorie ,
31 Mathematik > 31.59 Geometrie. Sonstiges
AC Nummer
AC17307568
Utheses ID
70269
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |