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Nonlinear waves in kinetic transport and nonlocal diffusion equations
Sabine Hittmeir
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Christian Schmeiser
DOI
10.25365/thesis.7814
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30350.57286.991863-1
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die vorliegende Arbeit besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil beschäftigt sich mit wandernden Wellenlösungen von kinetischen Transportgleichungen. Am Beginn führen wir Existenz- und Stabilitätsanalysen von kinetischen Schockprofilen in einem allgemeinen Rahmen durch. Das beinhaltet Wellen mit kleinen Amplituden, wenn das makroskopische Modell ein hyperbolisches System von Erhaltungssätzen mit echter Nichtlinearität ist. In diesem Fall konstruieren wir die kinetischen wandernden
Wellen nahe der Profile der diffusiven makroskopischen Näherung resultierend aus der Chapman-Enskog Methode. Um die Lösbarkeit des Differentialproblems für den Korrekturterm zu zeigen, adaptieren wir die mikro-makro Zerlegung im Sinne von Caflisch und Nicolaenko für die Boltzmann Gleichung. Der Stabilitätsbeweis basiert auf Energie-Ungleichungen, wobei wir mit den Abschätzungen wieder beim System mit der diffusiven Regularisierung beginnen. Die Details werden anhand des BGK Modells für das isentrope System der Gasdynamik ausgeführt. Für skalare Erhaltungssätze sind auch Resultate für Wellen mit großen
Amplituden gegeben.
Anwendungen reichen von BGK Modellen für skalare Erhaltungssätze und Systeme der Gasdynamik bis zu einer Gleichung für Fermione in einem streuenden Hintergrund unter der Einwirkung eines elektrischen Feldes und hin zur Boltzmann Gleichung der Gasdynamik.
Weiters betrachten wir ein kinetisches Transportmodell für chemische Reaktionen als Annäherung für die KPP-Fisher Reaktions-Diffusions Gleichung und konstruieren
wieder kinetische Profile nahe zu wandernden Wellenlösungen der KPP-Fisher Gleichung. Die größere Schwierigkeit verursacht die Tatsache, dass das makroskopische Modell im Gegensatz zu vorhin kein Erhaltungssatz ist. Wir zeigen die Stabilität dieser wandernden Wellenlösungen in einem gewichteten L^2-Raum, wobei die Gewichtsfunktion dieselbe ist, die für ein entsprechendes Resultat für
die makroskopische Gleichung benötigt wird.
Im zweiten und kürzeren Teil der Arbeit analysieren wir skalare Erhaltungssätze mit einem nichtlokalen Diffusionsterm, der einem Riesz-Feller Operator entspricht. Lösbarkeitsresultate für das Cauchy-Problem in H^1 und L^\infty können von der fraktalen
Ableitung mit homogenem Symbol übernommen werden. Unser Hauptinteresse gilt den wandernden Wellenlösungen. Im Fall einer konvexen oder konkaven Flussfunktion existieren glatte Wellenlösungen, die monoton sind und die klassische
Entropiebedingung erfüllen. Der Beweis der asymptotischen Stabilität basiert auf der Konstruktion eines Lyapunov-Funktionals.
Abstract
(Englisch)
This thesis consists of two parts. The first one deals with travelling wave solutions of kinetic transport equations. At the beginning a unified framework for studying the existence and stability of kinetic shock profiles for conservation laws is presented. This includes small amplitude waves for the situation when the macroscopic model is a hyperbolic system of conservation laws with genuine nonlinearity.
Here we construct kinetic travelling waves close to the profiles for diffusive macroscopic approximations derived by the Chapman-Enskog method. To prove solvability of the differential problem for the correction term we adapt the micro-macro
decomposition in the spirit of Caflisch and Nicolaenko for the Boltzmann equation. The stability proof relies on energy estimates, where we again start from the system with diffusive regularisation. The details are carried out for the BGK model for the isentropic gas dynamics. For the case of scalar conservation laws, also large amplitude waves can be understood.
Applications range from BGK-models for general scalar conservation laws and for gas dynamics, to an equation for fermions in a scattering background under the action of an electric field and to the Boltzmann equation of gas dynamics.
We then consider a kinetic transport model for chemical reactions as an approximation for the KPP-Fisher reaction diffusion equation and again construct kinetic profiles close to travelling waves of the KPP-Fisher equation. The major difficulty in this work is caused by the fact that, in contrary to above, the macroscopic problem is not a conservation law. Stability of these travelling waves is shown for perturbations in a weighted L^2-space, where the weight function is similar to corresponding results on the macroscopic level.
In the second and shorter part of the thesis we analyse scalar conservation laws with a nonlocal diffusion term corresponding to a Riesz-Feller differential operator. Solvability results for the Cauchy problem in H^1 and L^\infty are adapted from the case of the fractional derivative with homogenous symbol. Our main interest is the investigation of travelling waves. In the case of a convex or concave flux function smooth wave profiles exist, which are monotone and satisfy the standard entropy condition. The proof of their asymptotic stability relies on the construction of a Lyapunov functional.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
travelling waves kinetic transport equations shock profiles nonlinear hyperbolic conservation laws reaction-diffusion equations nonlocal diffusion equations fractional derivatives
Schlagwörter
(Deutsch)
wandernde Wellen kinetische Transportgleichungen Schockprofile nichtlineare hyperbolische Erhaltungssätze Reaktions-Diffusions Gleichungen nichtlokale Diffusionsgleichungen fraktale Ableitungen
Autor*innen
Sabine Hittmeir
Haupttitel (Englisch)
Nonlinear waves in kinetic transport and nonlocal diffusion equations
Paralleltitel (Englisch)
Nonlinear waves in kinetic transport and nonlocal diffusion equations
Publikationsjahr
2009
Umfangsangabe
136 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Anton Arnold ,
Clement Mouhot
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.45 Partielle Differentialgleichungen ,
33 Physik > 33.06 Mathematische Methoden der Physik
AC Nummer
AC07806081
Utheses ID
7047
Studienkennzahl
UA | 091 | 405 | |