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Variational modeling of molecular geometries
Manuel Seitz
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium Naturwissenschaften: Mathematik
Betreuer*in
Ulisse Stefanelli
DOI
10.25365/thesis.76068
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-15303.36021.554022-7
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Makroskopische Eigenschaften aus atomistischen Systemen herzuleiten ist eine herausfordernde, aber lohnende, Aufgabe, welche wir in dieser Dissertation in drei Fällen aufgreifen wollen. In einem ersten Beitrag charakterisieren wir dreidimensionale Grundzustände eines zweidimensionalen Masse-Feder-Systems, welches zusätzlich ein Winkel-Potenzial aufweist und Bindungswinkel von pi bevorzugt. Die Diskrepanz zwischen der Interaktion nächster Nachbarn und dem Winkel-Potenzial bewirkt, dass flache Quadrate in die dritte Dimension geknickt werden. Dies gibt Anlass zu der Frage, wie man Parkettierungen mit nicht-flachen Quadraten charakterisieren kann. Wir zeigen, dass solche Anordnungen geriffelt, gewellt oder sogar aufgerollt sein können, diese Wellen aber effektiv nur in eine Richtung entstehen können. Es wurde bereits gezeigt, dass Masse-Feder-Systeme im Übergang von einem atomistischen zu einem Kontinuumsmodell bei gleichzeitiger Linearisierung zu Modelle der klassischen linearen Elastizität konvergieren. Im zweiten Beitrag erweitern wir dieses Ergebnis auf den dynamischen Kontext. Wir zeigen, dass Lösungen der atomistischen Bewegungsgleichung mit Viskosität zur klassischen Impulsgleichung für die lineare elastische Energie konvergieren. Während in der klassischen Kontinuumsmechanik mechanische Spannungen ausschließlich über Kontaktkräfte beschrieben werden, hat der atomistische Ansatz den Vorteil, dass er auch nicht-lokale Interaktionen, also solche mit langer Reichweite, berücksichtigt. Diese beiden Ansätze wurden zu einem nichtlokalen Kontinuumsmodell kombiniert, welches als Peridynamik bezeichnet wird. In einigen Fällen ist es möglich, klassische Formulierungen der Kontinuumsmechanik zu erhalten, wenn man die Reichweite der nichtlokalen Interaktionen gegen 0 gehen lässt, also im sogenannten nichtlokal-zu-lokalen Limes. Wir präsentieren ein dynamisches nichtlokal-zu-lokal Konvergenzergebnis, indem wir die quasistatische Entwicklung eines viskoelastischen peridynamischen Modells mit nichtlokalem Viskositätspotenzial betrachten. Dies kann als eine nichtlokale Version eines Kelvin-Voigt rheologischen Modells interpretiert werden. Wir beweisen, dass Lösungen des nichtlokalen Modells im nichtlokal-zu-lokalen Limes zur Lösung der lokalen Gleichung konvergieren.
Abstract
(Englisch)
Deriving macroscopic properties from atomistic systems is a challenging yet rewarding task. In this thesis, we are concerned with three instances in this direction. First, we characterize three-dimensional ground states of a two dimensional mass-spring model featuring a three body potential preferring angles of pi. The competition between closest nearest-neighbor interaction and the three-body potential causes flat squares to become kinked into the third dimension. This gives rise to the question of characterizing tilings with nonflat squares. We show that such arrangements admit ripples, bending and even roll-up, but essentially only in one dimension. It has been shown that mass-spring models converge to classical linear elasticity in the simultaneous atomistic-to-continuum and linearization limit. In the second contribution, we extend this result to the dynamic setting. More precisely, we prove that solutions to the atomistic equation of motion featuring also viscosity effects converge to the momentum equation for the linear elastic energy. Whereas in classical continuum mechanics stresses are described solely via contact forces, the atomistic approach has the advantage of featuring also long-range interactions. These two paradigms have been combined into a nonlocal continuum model, called Peridynamics. In some cases, it is possible to recover classical continuum-mechanics formulations in the nonlocal-to-local limit, i.e., when the horizon of the nonlocal interactions tends to 0. We present a dynamic nonlocal-to-local convergence result, considering the quasi static evolution of a viscoelastic peridynamic model with nonlocal viscosity potential. This can be interpreted as a nonlocal version of a Kelvin-Voigt rheological model. We prove that solutions of the nonlocal model converge to the solution of the local equation in the nonlocal-to-local convergence.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Nicht flache Parkettierung Diskret-zu-Kontinuums- und Linearisierungslimes evolutionäre Gamma-Konvergenz nichtlokal-zu-lokaler Grenzwert peridynamisches Kelvin-Voigt-Modell
Schlagwörter
(Englisch)
Nonflat tilings discrete-to-continuum and linearization limit evolutionary Gamma-convergence nonlocal-to-local limit peridynamic Kelvin-Voigt model
Autor*innen
Manuel Seitz
Haupttitel (Englisch)
Variational modeling of molecular geometries
Paralleltitel (Deutsch)
Variationelle Modellierung molekularer Geometrien
Publikationsjahr
2024
Umfangsangabe
iv, 135 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Roberto Alicandro ,
Thomas Hudson
Klassifikation
31 Mathematik > 31.45 Partielle Differentialgleichungen
AC Nummer
AC17215319
Utheses ID
70809
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |