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Die Verallgemeinerung einiger ausgezeichneter Punkte des Dreiecks auf den höherdimensionalen Raum
Theresa Roittner
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Lehramt Sek (AB) Unterrichtsfach Mathematik Unterrichtsfach Physik
Betreuer*in
Stefan Haller
DOI
10.25365/thesis.75774
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-19472.53937.641799-6
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Ein Dreieck besitzt sehr viele ausgezeichnete Punkte. Die wohl bekanntesten dieser Punkte sind der Inkreismittelpunkt, die Ankreismittelpunkte, der Umkreismittelpunkt, der Schwerpunkt und der Höhenschnittpunkt. Diese Arbeit beschäftigt sich unter anderem mit der Verallgemeinerung dieser Punkte auf den drei- und höherdimensionalen Raum. Des Weiteren wird die Verallgemeinerung der Euler'schen Gerade und des Feuerbach'schen Kreises auf den drei- und höherdimensionalen Raum behandelt. Im zwei- und dreidimensionalen Raum wurden die Beweise meist sowohl geometrisch, als auch algebraisch argumentiert. Der Inkreismittelpunkt, der Umkreis und der Schwerpunkt lassen sich auf sehr naheliegende Weise auf den höherdimensionalen Raum verallgemeinern. Komplexere Fälle bilden hingegen die Ankreismittelpunkte und der Höhenschnittpunkt. Im drei- und höherdimensionalen Raum müssen sich die Höhen eines Simplex im Allgemeinen nicht in einem Punkt schneiden. Allerdings existiert ein anderer Punkt, der Monge Punkt, der sehr viele Eigenschaften des Höhenschnittpunkts im höherdimensionalen Raum aufweist. Beispielsweise liegt der Monge Punkt im Höherdimensionalen auf der Geraden durch den Schwerpunkt und den Umkreismittelpunkt, wodurch mit dessen Hilfe auch die Euler'sche Gerade verallgemeinert werden kann. Äußerst interessant ist ebenso die mögliche Existenz der Ankreismittelpunkte im höherdimensionalen Raum. So besitzt ein Tetraeder beispielsweise zwischen vier und sieben Ankugeln, die jede Trägerebene der Seitenflächen berühren. Im Allgemeinen haben Simplexe verschiedene Arten von Ansphären, deren Existenz mit der Größe der Seitenflächen zusammenhängt. Die Menge der existierenden Ansphären ist begrenzt, weist jedoch in ungeraden Dimensionen Lücken auf. Es konnten keine Informationen dazu gefunden werden, ob solche Lücken ebenfalls in geraden Dimensionen auftreten.
Abstract
(Englisch)
A triangle possesses many distinguished points. The most well-known of these points are the incenter, the excenters, the circumcenter, the centroid, and the orthocenter. This thesis deals, among other things, with the generalization of these points to three- and higher-dimensional space. Furthermore, the generalization of Euler's line and Feuerbach's circle to three- and higher-dimensional space is addressed. In two- and three-dimensional space, the proofs were mostly demonstrated geometrically as well as algebraically. The incenter, circumcenter, and centroid can be naturally generalized to higher-dimensional space. However, the excenters and the orthocenter are more complex. In three- and higher-dimensional space, the altitudes of a simplex generally do not intersect at a single point. However, there exists another point, the Monge point, which exhibits many properties of the orthocenter in higher-dimensional space. For example, in higher-dimensional space, the Monge point lies on the line through the centroid and the circumcenter of a simplex, which also allows for the generalization of Euler's line. Equally interesting is the possible existence of excenters in higher-dimensional space. For example, a tetrahedron possesses between four and seven exspheres, each touching the supporting plane of the lateral faces. In general, simplices have different types of circumspheres, the existence of which depends on the size of the lateral faces. The set of existing circumspheres is limited but exhibits gaps in odd dimensions. No information about whether such gaps occur in even dimensions could be found.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Verallgemeinerung ausgezeichneter Punkte Verallgemeinerung ausgezeichneter Punkte des Dreiecks Inkreismittelpunkt Schwerpunkt Umkreismittelpunkt Euler'sche Gerade Ankreise Inkreis Umkreis Monge Punkt Höhenschnittpunkt Feuerbach'scher Kreis Ankugeln Inkugeln Insphäre Ansphäre Ansphären Tetraeder Dreieck Simplex Umkugel Umsphäre Insphäre Ansphäre Ansphären höherdimensionale Geometrie Geometrie
Autor*innen
Theresa Roittner
Haupttitel (Deutsch)
Die Verallgemeinerung einiger ausgezeichneter Punkte des Dreiecks auf den höherdimensionalen Raum
Paralleltitel (Englisch)
The generalization of some distinguished points of the triangle to higher-dimensional space
Publikationsjahr
2024
Umfangsangabe
vi, 122 Seiten : Illustrationen
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Stefan Haller
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.20 Algebra. Allgemeines ,
31 Mathematik > 31.50 Geometrie. Allgemeines
AC Nummer
AC17180719
Utheses ID
71108
Studienkennzahl
UA | 199 | 520 | 523 | 02