Detailansicht
The Gaussian free field and its Liouville measure
Maximilian Schoissengeyer
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Nathanael Berestycki
DOI
10.25365/thesis.76217
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-25885.79443.928345-2
Link zu u:search
(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Masterarbeit gibt eine elementare und detaillierte Konstruktion des Gaußschen freien Feldes (GFF) und des zugehörigen Liouville Maßes (LM). Der Einfachheit halber arbeiten wir auf beschränkten Definitionsmengen in $\R^d$ mit stetig differenzierbarem Rand. Wir beginnen damit, das GFF als die Verallgemeinerung einer Brownschen Brücke in höher dimensionale Indexmengen zu sehen. Dies ist nicht trivial, da das GFF in höheren Dimensionen nicht punktweise definiert werden kann. Wir entwickeln anschließend Eigenschaften des GFF, unter anderem seine Markov Eigenschaft, oder die Invarianz unter konformen Abbildungen in Dimension zwei. Im zweiten Teil geben wir einen Beweis für die Existenz des LM, was grob gesagt die Exponentialfunktion des GFF ist. Wir zeigen die Verbindung zu den sogenannten dicken Punkten des GFF, und enden mit der Kovarianz des LM unter konformen Abbildungen. Diese Arbeit soll das GFF und sein LM für Mathematikerinnen mit einem Fokus auf Wahrscheinlichkeitstheorie leicht zugänglich machen.
Abstract
(Englisch)
This master thesis gives an elementary and detailed construction of the Gaussian free field (GFF) and its corresponding Liouville measure (LM). For simplicity we restrict to bounded domains in $\R^d$, which have a continuous differentiable boundary. We start by building the GFF as the generalisation of the Brownian bridge to higher dimensional index sets. This is not trivial, as we can´t define the GFF pointwise in higher dimensions. We elaborate important properties of the GFF, like its Markov property and the invariance under conformal maps in dimension two. In the second part we show the existence of the LM, which is roughly speaking the exponential of the GFF. We develop the connection to the so called thick points of the GFF, and finish up with its covariance under conformal maps. This thesis should make the GFF and its LM readily accessible to mathematicians with a focus on probability theory.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Gaußsches freies Feld Liouville Maß
Schlagwörter
(Englisch)
Gaussian free field Liouville measure
Autor*innen
Maximilian Schoissengeyer
Haupttitel (Englisch)
The Gaussian free field and its Liouville measure
Paralleltitel (Deutsch)
Das Gaußsche freie Feld und sein Liouville Maß
Publikationsjahr
2024
Umfangsangabe
vi, 60 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Nathanael Berestycki
Klassifikation
31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung
AC Nummer
AC17237962
Utheses ID
71530
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |