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Polar factorization of maps on Riemannian manifolds
Fatemeh Montazeri Roudbaraki
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Michael Kunzinger
DOI
10.25365/thesis.76305
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-16303.01462.808571-9
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
In dieser Arbeit untersuchen wir das Problem der Polarisierung von Abbildungen auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Unser Ziel ist es, eine Borel-Abbildung $f: M \rightarrow M$, die nie ein positives Volumen in ein Nullvolumen auf einer zusammenhängenden, kompakten $\mathcal{C}^3$-glatten Riemannschen Mannigfaltigkeit $(M, g)$ mit einer Riemannschen Distanz $d(x, y)$ abbildet, zu faktorisieren in die Zusammensetzung einer Borel-Abbildung $g(x) = \exp_x[-\nabla \phi(x)]$ und einer volumenbewahrenden Abbildung $h: M \rightarrow M$. Hierbei ist $\phi: M \rightarrow \mathbb{R}$ eine infimale Faltung $\phi = \phi^{CC}$ mit $C(x, y) = \frac{d^2(x, y)}{2}$. Außerdem ist $g(x)$ eine Lösung des Monge-Kantorovich-Transportproblems in der Riemannschen Geometrie. Hierzu betrachten wir zunächst den Begriff des optimalen Transportproblems, der von Monge eingeführt wurde. In Kapitel 2 beweisen wir Breniers Theorem, das die Existenz und Eindeutigkeit des optimalen Transportproblems im euklidischen Raum zeigt. Dann gehen wir auf unser Hauptergebnis ein. In Kapitel 3 wiederholen wir einige Grundlagen der Riemannschen Geometrie, und in Kapitel 4 beweisen wir Breniers Theorem auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Schließlich zeigen wir in Kapitel 5, dass die Polarisierung im euklidischen Raum auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten verallgemeinert werden kann.
Abstract
(Englisch)
In this thesis, we investigate the problem of polar factorization of maps on Riemannian manifolds. Our aim is to factorize a Borel map $f: M \rightarrow M$ that never maps positive volume into zero volume on a connected, compact $\mathcal{C}^3$-smooth Riemannian manifold $(M, g)$ with a Riemannian distance $d(x, y)$ into the composition of a Borel map $g(x) = \exp_x[-\nabla \phi(x)]$ and a volume-preserving map $h: M \rightarrow M$, where $\phi: M \rightarrow \mathbb{R}$ is an infimal convolution $\phi = \phi^{CC}$ with $C(x, y) = \frac{d^2(x, y)}{2}$. Here, $g(x)$ is a solution of the Monge-Kantorovich transportation problem in Riemannian geometry. For this purpose, we first introduce the notion of the optimal transport problem, which was first introduced by Monge, in Chapter 1. We state and prove Brenier's theorem, which shows the existence and uniqueness of the optimal transport problem in Euclidean space, in Chapter 2. Then, we address our main result. We recall some basic Riemannian geometry in Chapter 3, and then we prove Brenier's theorem on Riemannian manifolds in Chapter 4. Finally, in Chapter 5, we show that the polar factorization in Euclidean space can be generalized to polar factorization on Riemannian manifolds.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Polar factorization on Riemannian manifolds
Autor*innen
Fatemeh Montazeri Roudbaraki
Haupttitel (Englisch)
Polar factorization of maps on Riemannian manifolds
Publikationsjahr
2024
Umfangsangabe
vii, 62 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Michael Kunzinger
Klassifikation
31 Mathematik > 31.40 Analysis. Allgemeines
AC Nummer
AC17244602
Utheses ID
71713
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |