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Imposing convexity on dual formulations of weak transport problems
Filip Pramenković
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Walter Schachermayer
DOI
10.25365/thesis.76925
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-18293.18709.973921-0
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Das Ziel dieser Arbeit ist es, Bedingungen zu untersuchen, die es uns erlauben, die duale Formulierung von optimalen schwachen Transportproblemen auf konvexe Funktionen zu beschränken. In Kapitel 1 erinnern wir uns an die klassische Theorie des optimalen Transports und erzählen auch ein paar Resultate aus der deskriptiven Mengenlehre. Wir schließen das Kapitel mit einer kleinen Einführung in den optimalen schwachen Transport ab. Kapitel 2 beinhaltet eine detaillierte Untersuchung von zwei motivierenden Beispielen. Wir betrachten den Kontext und die Beweise beider. Der Hauptsatz wird in Kapitel 3 gezeigt, und basiert auf den zwei motivierenden Beispielen. Genauer gesagt, wir verstärken den Beweis des ersten Beispiels genug, dass das zweite Beispiel auch umfasst wird. Das Ziel Kapitels 4 ist es nicht nur rigoros zu überprüfen, dass die zwei motivierenden Beispiele folgen aus dem Hauptsatz, sondern auch zu zeigen, dass wir ihn woanders verwenden können. Insbesondere, verwenden wir ihn auf ein optimales schwaches Transportproblem mit Varianz und dann auch im Kontext der klassischen Theorie des optimalen Transports, um die Kantorovich Dualität für die quadratische Kostenfunktion zu bekommen. Im letzten Kapitel 5 diskutieren wir die möglichen Verallgemeinerungen des Hauptsatzes. Insbesondere scheint der Austausch der konvexen Ordnung mit einer allgemeineren Form von Ordnung sehr vielversprechend zu sein.
Abstract
(Englisch)
The aim of this thesis is to investigate conditions that allow the dual formulation of weak optimal transport problems to be restricted to convex functions. In Chapter 1, we recall the classical theory of optimal transport and touch upon a few results from descriptive set theory. We finish the chapter off with a quick primer on weak optimal transport. Chapter 2 consists of an in-depth analysis of two motivating examples. We consider the context of both of them and cover their proofs. The main theorem is shown in Chapter 3 and is based on the two motivating examples. More precisely, it sufficiently strengthens the proof of the first one in order to be applicable to the second one. The aim of Chapter 4 is not only to rigorously check that the two motivating examples follow from the main theorem, but also to apply it elsewhere. In particular, one application is concerned with a weak optimal transport problem involving the variance and another one simply applies the main theorem within the confines of the classical setting to recover the Kantorovich duality for the quadratic cost function. Finally, in Chapter 5 we discuss the potential extensions of the main theorem. In particular, swapping convex order for a more general type of order seems to be a promising direction.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Optimaler Transport Optimaler Schwacher Transport Konvexität Dualität
Schlagwörter
(Englisch)
Optimal Transport Weak Optimal Transport Convexity Duality
Autor*innen
Filip Pramenković
Haupttitel (Englisch)
Imposing convexity on dual formulations of weak transport problems
Paralleltitel (Deutsch)
Konvexifizierung dualer Formulierungen optimaler schwacher Transportprobleme
Publikationsjahr
2024
Umfangsangabe
iii, 44 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Walter Schachermayer
Klassifikation
31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung
AC Nummer
AC17356368
Utheses ID
72386
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |