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Functional analysis in spaces of generalized functions
Djamel Eddine Kebiche
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium Naturwissenschaften: Mathematik
Betreuer*innen
Paolo Giordano ,
Michael Kunzinger
DOI
10.25365/thesis.77989
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30774.64753.193534-0
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt auf der Entwicklung und Verallgemeinerung grundlegender Ergebnisse der Funktionalanalysis im Kontext von Räumen mit verallgemeinerten Funktionen. Der zentrale Rahmen ist der von Modulen über dem Ring der verallgemeinerten Robinson-Colombeau-Zahlen, der Colombeau-Räume von verallgemeinerten Funktionen und Räume von verallgemeinerten glatten Funktionen umfasst. Die letztgenannten Räume erweitern Colombeau-Algebren und haben viele nichtlineare Eigenschaften mit gewöhnlichen glatten Funktionen gemeinsam, wie z.B. der Abschluss unter Komposition, eine gute Integrationstheorie und mehrere klassische Theoreme aus der Analysis. Ein unabhängiges sekundäres Ziel, das nicht mit dem Colombeau-ähnlichen Ansatz zusammenhängt, ist das Studium gewichteter Sobolev-Räume und ihrer Anwendungen auf entartete elliptische partielle Differentialgleichungen, ein Thema, das unabhängig vom Autor entwickelt wurde, wobei der Schwerpunkt auf einem neuen Ansatz für gewichtete Sobolev-Räume liegt. Dieser neue Ansatz ist besonders nützlich, wenn die Gewichtsfunktionen beliebig klein sind. Er ersetzt den konventionellen Ansatz, Punkte auszuschließen, bei denen die Gewichtsfunktionen sehr klein sind, durch die Einführung eines neuen Begriffs der schwachen Ableitung. In diesem neuen Umfeld werden in diesen Räumen nichtlokal integrierbare Funktionen betrachtet. In der Tat stellen wir Bedingungen auf, unter denen eine entartete elliptische partielle Differentialgleichung eine eindeutige, nicht lokal integrierbare Lösung hat. Werkzeuge wie eine Poincaré-Ungleichung und ein Spurenoperator werden entwickelt, und Dichteergebnisse von glatten Funktionen werden aufgestellt. Im ersten Teil, der sich auf das Gebiet der verallgemeinerten Funktionen bezieht, stellen wir eine geeignete Version des Hahn-Banach-Theorems im Rahmen von Colombeau-Räumen auf. Wir befassen uns mit dem Fall, dass die Karten durch ein Netz von Repräsentanten definiert sind, was den Rahmen vereinfacht und die Erweiterung der linearen Funktionale überschaubarer macht. Als Anwendung unseres Hauptergebnisses verallgemeinern wir die Eigenschaft der Trennung konvexer Mengen in Colombeau-Räumen. Im zweiten Teil untersuchen wir universelle Eigenschaften als grundlegende Werkzeuge zur Lösung mathematischer Probleme. Anhand mehrerer Beispiele zeigen wir, dass universelle Eigenschaften die einfachsten Lösungen für verschiedene mathematische Probleme bieten. Konkret stellen wir die Co-Universaleigenschaft von Schwartz-Distributionen als einfachste Methode zum Erhalten von Ableitungen stetiger Funktionen vor, die Colombeau-Algebra als einfachste Quotientenalgebra, in der Representatnten von Null infinitesimal sind, und verallgemeinerte glatte Funktionen als universelles Gerüst für die Verknüpfung mengentheoretischer Abbildungen nicht-archimedischer Zahlen, die durch Netze glatter Funktionen definiert sind, wie Regularisierungen von Verteilungen, und die beliebige Ableitungen besitzen. Jede dieser Eigenschaften führt zu einer Charakterisierung bis auf Isomorphismen des entsprechenden Raums. Im dritten Teil haben wir den Banach-Fixpunktsatz in Räumen mit verallgemeinerten Funktionen bewiesen, wobei wir uns auf die Version mit unendlichen Iterationen konzentriert haben, die hyperendliche Sequenzen und zwei Gauges anstelle von Sequenzen einbezieht, da die Version mit endlichen Iterationen sehr begrenzt ist. Eine wichtige Anwendung dieses erweiterten Theorems ist der Picard-Lindelöf-Satz in Räumen mit verallgemeinerten stetigen Funktionen. Diese Ergebnisse erweitern die Banach-Fixpunkttheorie auf neue Kontexte und eröffnen Wege für weitere Forschungen in der Analyse von verallgemeinerten Funktionsräumen. Im vierten Teil stellen wir eine Erweiterungseigenschaft für gleichmäßig stetige verallgemeinerte glatte Funktionen auf. Konkret beweist dieses Ergebnis, dass eine verallgemeinerte glatte Funktion, die zusammen mit all ihren Ableitungen auf einer stark internen Menge gleichmäßig stetig ist, als verallgemeinerte glatte Funktion eindeutig auf den Rand erweitert werden kann. Dieses Ergebnis kann verwendet werden, um zu zeigen, dass maximale Lösungen von Differentialgleichungen mindestens eine Ableitung haben, die an einem Randpunkt ins Unendliche geht.
Abstract
(Englisch)
The primary focus of this thesis is to develop and generalize fundamental results in functional analysis within the context of spaces of generalized functions. The central framework employed is that of modules over the ring of Robinson-Colombeau generalized numbers, encompassing Colombeau spaces of generalized functions and spaces of generalized smooth functions. The latter spaces extend Colombeau algebras, sharing many nonlinear properties with ordinary smooth functions, such as closure under composition, a good integration theory, and several classical calculus theorems. In addition, an independent secondary aim, not related to Colombeau-like approach, is the study of weighted Sobolev spaces and their applications to degenerate elliptic partial differential equations, a topic that has been developed independently by the author, focusing on addressing a new approach to weighted Sobolev spaces. This new approach is particularly useful when the weight functions are arbitrarily small. It replaces the conventional approach of excluding points where weight functions are very small by introducing a novel notion of weak derivative. In this new setting, non-locally integrable functions are considered in these spaces. Indeed, we provide conditions under which a degenerate elliptic partial differential equation has a unique non-locally integrable solution. Tools like a Poincaré inequality and a trace operator are developed, and density results of smooth functions are established. In the first part related to the framework of generalized functions, we establish a suitable version of the Hahn-Banach theorem within the framework of Colombeau spaces. We address the case where the maps are defined by a net of representatives, which simplifies the framework and makes the extension of linear functionals more manageable. As an application of our primary result, we generalize the separation of convex sets property within Colombeau spaces. In the second part, we explore universal properties as fundamental tools for solving mathematical problems. By means of several examples, we show that universal properties provide the simplest solutions to various mathematical problems. Specifically, we present the co-universal property of Schwartz distributions as the simplest method for obtaining derivatives of continuous functions, Colombeau algebra as the simplest quotient algebra where representatives of zero are infinitesimal, and generalized smooth functions as the universal framework for associating set-theoretical maps of non-Archimedean numbers defined by nets of smooth functions, such as regularizations of distributions, and possessing arbitrary derivatives. Each of these properties leads to a characterization up to isomorphisms of the corresponding space. In the third part, we proved the Banach fixed point theorem in spaces of generalized functions, focusing on infinite iterations version that involves hyperfinite sequences and two gauges instead of sequences, since the finite iterations version is very limited. A key application of this extended theorem is the Picard-Lindelöf theorem in spaces of generalized continuous functions. These results extend Banach fixed point theory to new contexts and open avenues for further research in the analysis of generalized function spaces. In the fourth part, we establish an extension property for uniformly continuous generalized smooth functions. Specifically, this result proves that a generalized smooth function which is uniformly continuous together with all its derivatives on a strongly internal set, can be uniquely extended to the boundary as a generalized smooth function. This result can be used to show that maximal solutions of differential equations have at least one derivative going to infinity at a boundary point.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Colombeau-Räume von verallgemeinerten Funktionen Gewichtete Sobolev-Räume
Schlagwörter
(Englisch)
Colombeau-spaces of generalized functions Weighted Sobolev spaces
Autor*innen
Djamel Eddine Kebiche 
Haupttitel (Englisch)
Functional analysis in spaces of generalized functions
Paralleltitel (Deutsch)
Funktionalanalysis in Räumen von verallgemeinerten Funktionen
Publikationsjahr
2024
Umfangsangabe
141 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Stanley Juriaans ,
Michael Ruzhansky
AC Nummer
AC17471456
Utheses ID
73419
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |