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Numerical solution of the acoustic wave equation in the time domain
Sara Fraschini
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium Naturwissenschaften: Mathematik
Betreuer*innen
Vladimir Kazeev ,
Ilaria Perugia
DOI
10.25365/thesis.78503
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-26749.84080.389417-3
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
In dieser Dissertation entwickeln und verwenden wir stabile und effiziente numerische Methoden für die zeitabhängige lineare akustische Wellengleichung. In unserer Arbeit werden zwei Hauptansätze untersucht: Raum-Zeit-isogeometrische Diskretisierungen in Teil I und QTT-strukturierte numerische Methoden in Teil II. Die isogeometrische Methode (Isogeometrische Analyse, IGA) ist eine Galerkin-Methode, die Spline-Funktionen oder deren Verallgemeinerungen verwendet, um den physikalischen Bereich zu parametrisieren und die Lösung der entsprechenden partiellen Differentialgleichung (PDE) zu approximieren. In der Raum-Zeit-IGA für zeitabhängige PDEs definieren Spline-Funktionen die diskreten Räume, die in einem Netz aus Raum und Zeit leben. In Teil I der vorliegenden Arbeit führen wir eine bedingungslos stabile Raum-Zeit-IGA-Diskretisierung für die lineare akustische Wellengleichung in der Standardformulierung zweiter Ordnung in der Zeit ein. Die unbedingte Stabilität wird durch das Hinzufügen nicht konsistenter Strafterme zu der zugrunde liegenden bilinearen Form erreicht. Ausführliche numerische Tests an einer Vielzahl von Wellenausbreitungsproblemen bestätigen die Leistungsfähigkeit der Methode. Um die Stabilitätsanalyse anzugehen, untersuchen wir die Eigenschaften des Konditionierungsverhaltens einer Familie von Matrizen, die mit der Zeitdiskretisierung verbunden sind. Für einen beliebigen Spline-Grad leiten wir explizite, scharfe Abschätzungen sowohl für die CFL-Bedingung, die im nicht stabilisierten Fall erforderlich ist, als auch für den Strafterm, der den Konsistenzfehler im stabilisierten Fall minimiert, ab. Schließlich entwickeln wir eine raum-zeitliche IGA-Diskretisierung für die Wellengleichung auf der Grundlage einer Formulierung erster Ordnung in der Zeit. Im Gegensatz zur Formulierung zweiter Ordnung in der Zeit zeigt diese Methode unbedingte Stabilität ohne die Notwendigkeit von Stabilisierungstermini, wie in mehreren numerischen Experimenten gezeigt wurde. Die Quantized Tensor Train (QTT)-Zerlegung ist eine aufkommende Methode, um die Effizienz einfacher Finite-Elemente-Methoden (FEMs) niedriger Ordnung zu verbessern. In Teil II dieser Arbeit nutzen wir die QTT-Zerlegung, um eine skalierbare numerische Methode für die eindimensionale, homogene akustische Wellengleichung im Zeitbereich vorzuschlagen. Wir beginnen mit der Formulierung erster Ordnung in der Zeit, die bereits in Teil I betrachtet wurde. Dieses Problem wird mit QTT-komprimierter stückweiser linearer FEM in Kombination mit impliziten Gauss--Legendre Runge-Kutta (GLRK)-Zeitintegratoren diskretisiert. Unbedingte Stabilität und Energieerhaltung werden durch die Verwendung von GLRK-Integratoren gewährleistet, und die QTT-basierte Komplexitätsreduktion erlaubt es uns, bei jedem Zeitschritt eine Netzgröße von bis zu $2^{-15}$ zu verwenden. Numerische Tests validieren die Leistungsfähigkeit der Methode. Soweit wir wissen, stellt diese Arbeit die erste QTT-strukturierte Diskretisierung der zeitabhängigen akustischen Wellengleichung.
Abstract
(Englisch)
In this dissertation, we develop and apply stable and efficient numerical methods for the linear acoustic wave equation in the time domain. Our work explores two main approaches: space-time isogeometric discretizations in Part I, and QTT-structured numerical methods in Part II. The isogeometric method (Isogeometric Analysis, IGA) is a Galerkin method that uses spline functions, or their generalizations, to parametrize the physical domain and approximate the solution of the corresponding Partial Differential Equation (PDE). In space-time IGA for time-dependent PDEs, spline functions define the discrete spaces that live on a mesh of space and time. In Part I of the present work, we introduce an unconditionally stable space-time IGA discretization for the linear acoustic wave equation in the standard second-order-in-time formulation. The unconditional stability is achieved by adding non-consistent penalty terms to the underlying bilinear form. Extensive numerical testing on a wide range of wave propagation problems validates the performance of the method. To address the stability analysis, we study the properties of the conditioning behaviour of a family of matrices associated with the time discretization. For an arbitrary spline degree, we derive explicit, sharp estimates of both the CFL condition required in the unstabilized case and the penalty term that minimizes the consistency error in the stabilized setting. Finally, we devise a space-time IGA discretization for the wave equation based on a first-order-in-time formulation. In contrast with the second-order-in-time formulation, this method showcases unconditional stability without the need for stabilization terms, as demonstrated in several numerical experiments. The Quantized Tensor Train (QTT) decomposition is an emerging method to enhance the efficiency of simple low-order Finite Element Methods (FEMs). In Part II of this work, we leverage the QTT decomposition to propose a scalable numerical method for the one-dimensional, homogeneous acoustic wave equation in the time domain. We start from the first-order-in-time formulation already considered in Part I. This problem is discretized with QTT-compressed piecewise linear FEM combined with implicit Gauss-Legendre Runge-Kutta (GLRK) time integrators. The use of GLRK integrators ensures unconditional stability and energy conservation, and the QTT-based complexity reduction allows us to use mesh size up to $2^{-15}$ at each time step. Numerical tests validate the performance of the method. To the best of our knowledge, this work provides the first QTT-structured discretization of the time-dependent acoustic wave equation.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Wellengleichung Konforme Raum-Zeit-Methode Unbedingte Stabilität Isogeometrische Analyse Toeplitz-Matrizen Splines Quantized-Tensor-Train Finite-Elemente-Methode Gauss-Legendre Runge-Kutta Simplektizität Energieerhaltung Exponentielle Konvergenz
Schlagwörter
(Englisch)
Wave equation Conforming space-time method Unconditional stability Isogeometric analysis Toeplitz matrices Splines Quantized tensor train Finite element method Gauss-Legendre Runge-Kutta Simplecticity Energy conservation Exponential convergence
Autor*innen
Sara Fraschini 
Haupttitel (Englisch)
Numerical solution of the acoustic wave equation in the time domain
Publikationsjahr
2024
Umfangsangabe
xi, 139 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Lars Grasedyck ,
Helmut Harbrecht
Klassifikation
31 Mathematik > 31.76 Numerische Mathematik
AC Nummer
AC17548277
Utheses ID
73954
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |