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Singularitäten in der komplexen Analysis
Tanja Nowak
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Lehramt Sek (AB) Unterrichtsfach Mathematik Unterrichtsfach Spanisch
Betreuer*in
Roland Donninger
DOI
10.25365/thesis.77816
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-27027.17234.466573-7
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Singularitäten in der komplexen Analysis, also Stellen, an denen eine komplexe Funktion nicht definiert ist. Um diese gut nachvollziehen zu können, starten wir zunächst mit einem kurzen Einblick in die komplexen Zahlen und deren wichtigsten Eigenschaften, lernen den Konvergenzradius von Potenzreihen kennen und mithilfe der Definition und Berechnung von Kurvenintegralen beweisen wir zwei wichtige Sätze der komplexen Analysis - den Cauchyschen Integralsatz sowie die Cauchysche Integralformel. Im Kernteil der Arbeit lernen wir die drei Möglichkeiten für Singularitäten - Polstellen, hebbare sowie wesentliche Singularitäten - kennen und behandeln wichtige daraus resultierende Sätze. Bei Polstellen und dem daraus resultierenden Residuensatz verweilen wir länger, denn mithilfe dieses Satzes ist es möglich, unendliche reelle Integrale zu berechnen sowie die Lage von Nullstellen von Funktionen abzuschätzen. Wir beenden diese Arbeit schließlich mit einem leicht verständlichen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra.
Abstract
(Englisch)
This paper deals with singularities in complex analysis, i.e. points at which a complex function is not defined. In order to understand these well, we start with a brief insight into complex numbers and their most important properties, learn about the radius of convergence of power series and, with the help of the definition and calculation of curve integrals, we prove two important theorems of complex analysis - Cauchy's integral theorem and Cauchy's integral formula. In the main part of the work, we get to know the three possibilities for singularities - poles, removable and essential singularities - and deal with important resulting theorems. We will linger longer on polar points and the resulting residue theorem, as this theorem makes it possible to calculate infinite real integrals and estimate the position of zeros of functions. Finally, we conclude this work with an easy-to-understand proof of the fundamental theorem of algebra.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
komplexe Analysis Kurvenintegrale hebbare Singularitäten wesentliche Singularitäten Residuensatz Satz von Rouché Konverganzradius
Autor*innen
Tanja Nowak
Haupttitel (Deutsch)
Singularitäten in der komplexen Analysis
Paralleltitel (Englisch)
Singularities in complex analysis
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
44 Seiten : Illustrationen
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Roland Donninger
Klassifikation
31 Mathematik > 31.42 Funktionen mit einer komplexen Variablen
AC Nummer
AC17454145
Utheses ID
74444
Studienkennzahl
UA | 199 | 520 | 529 | 02