Detailansicht
On stable self-similar blowup beyond light cones in nonlinear wave equations
Matthias Ostermann
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium Naturwissenschaften: Mathematik
Betreuer*in
Roland Donninger
DOI
10.25365/thesis.78502
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-15082.57955.321632-5
Link zu u:search
(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die vorliegende Dissertation behandelt die Stabilität selbstähnlicher Blowup-Lösungen nichtlinearer Wellengleichungen. Sie umfasst drei Arbeiten über die Wave Maps Gleichung in korotierender Symmetrie, die Yang-Mills Gleichung in äquivarianter Symmetrie, semilineare Wellengleichungen mit fokussierender Nichtlinearität, sowie eine elementare Charakterisierung von Sobolev-Normen radial symmetrischer Funktionen. Zusätzlich gibt das erste Kapitel einen historischen Überblick über die mathematische Theorie von Wellengleichungen. Die Wave Maps Gleichung und die Yang-Mills Gleichung sind prototypische geometrische Wellengleichungen, welche in allen Energie-superkritischen Dimensionen selbstähnliche Blowup-Lösungen in geschlossener Form besitzen. Bemerkenswerterweise existieren diese Lösungen in der gesamten Raumzeit abseits der Singularitäten. In der im zweiten Kapitel präsentierten Arbeit wird die nichtlineare Stabilität dieser Lösungen in Gebieten der Raumzeit bewiesen, welche sich dem Vorwärtslichtkegel der Singularität annähern. Die semilinearen Wellengleichungen haben in allen Dimensionen räumlich homogene selbstähnliche Lösungen, welche ODE Blowup genannt werden. Die Arbeit im dritten Kapitel zeigt die nichtlineare Stabilität der ODE Blowuplösung ohne Symmetrieeinschränkungen. Eine wesentliche Grundlage für diese Arbeiten ist die Einführung neuartiger Koordinatensysteme in den jeweils untersuchten Bereichen der Raumzeit, die an die Selbstähnlichkeit angepasst und mit der Wellenevolution kompatibel sind. In diesen Koordinaten werden Energien und kommutierende Differentialoperatoren für den Wellenoperator hergeleitet, auf deren Basis eine funktionalanalytische Theorie des Wellenflusses nahe selbstähnlicher Lösungen entwickelt wird.
Abstract
(Englisch)
This thesis is concerned with the stability of self-similar blowup solutions of nonlinear wave equations. It comprises three works about the corotational wave maps equation, the equivariant Yang-Mills equation, semilinear wave equations with focusing power nonlinearities, and an elementary characterization of Sobolev norms for radially symmetric functions. Additionally, the first chapter contains a historical overview of the mathematical development of wave equations. The wave maps equation and the Yang-Mills equation are prototypical geometric wave equations, which admit self-similar blowup solutions in closed form in all energy-supercritical dimensions. Remarkably, these solutions continue to exist away from their singularities in the whole spacetime. In the work presented in the second chapter, the nonlinear stability of these solutions is proved in spacetime regions that approach the future light cone of the respective singularity. The focusing semilinear wave equations admit spatially homogeneous self-similar blowup solutions in all dimensions, referred to as ODE blowup. The work in the third chapter demonstrates the nonlinear stability of the ODE blowup without symmetry restrictions in extended past light cones. An essential foundation for these works is the implementation of novel coordinate systems in the considered spacetime regions that are adapted to self-similarity and compatible with the wave flow. In these coordinates, energies and commuting differential operators are derived for the wave operator, based on which a general functional analytic framework for the wave flow near self-similar solutions is established.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Wellengleichung Wave Maps Yang-Mills Blowup Stabilität Selbstähnliche Koordinaten Sobolev-Norm Radial symmetrische Funktionen
Schlagwörter
(Englisch)
Wave equation Wave maps Yang-Mills Blowup Similarity coordinates Sobolev norm Radially symmetric functions
Autor*innen
Matthias Ostermann 
Haupttitel (Englisch)
On stable self-similar blowup beyond light cones in nonlinear wave equations
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
xii, 192 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Jacek Jendrej ,
Sung-Jin Oh
Klassifikation
31 Mathematik > 31.45 Partielle Differentialgleichungen
AC Nummer
AC17548273
Utheses ID
74951
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |