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Cores, quotients and symmetric functions
Seamus Patrick Albion Ferlinc
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium Naturwissenschaften: Mathematik
Betreuer*in
Christian Krattenthaler
DOI
10.25365/thesis.80055
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-27169.52465.920297-5
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Dissertation behandelt drei verwandte Themen innerhalb der Theorie der symmetrischen Funktionen. Das erste Thema befasst sich mit dem sogenannten ``Verschiebungsoperator'' und dessen Wirkung auf verschiedene Familien von symmetrischen Funktionen. Für Schur-Funktionen wurde dieses Problem zuerst in Arbeiten von Littlewood und Richardson betrachtet und ein enger Zusammenhang zur Zerlegung von Zahlpartitionen in ihren Kern und Quotienten bewiesen. Für Charaktere von symplektischen beziehungsweise orthogonalen Gruppen wurden ähnliche Resultate von Lecouvey und unabhängig von Ayyer and Kumari entdeckt. In dieser Dissertation verallgemeinern wir obige Resultate uniform für universale Charaktere, indem wir eine von Hamel und King definierte Familie von symmetrischen Funktionen betrachten. Der zweite Teil dieser Arbeit befasst sich mit Verallgemeinerungen von Littlewood-Identitäten für Summen über Partitionen mit leerem 2-Kern. Diese Formeln wurden kürzlich von Lee, Rains und Warnaar in Form von beschränkten Littlewood-Identitäten für Macdonald Polynome vermutet. Wir beweisen ihre Vermutung für Schur-Funktionen mittels virtuellen Koornwinder-Integralen, welche von Rains und Warnar entwickelt wurden. Der letzte Teil der Dissertation beinhaltet kombinatorische Beweise von Jacobi–Trudi und Giambelli Determinantenformeln für symplektische und orthogonale Charaktere, welche von schiefen Partitionen indiziert und durch die Tableaux-Modelle von Koike und Terada definiert sind. Die Beweise bauen auf das Lindström–Gessel–Viennot Lemma und dem modifiziertem Spiegelungsprinzip auf.
Abstract
(Englisch)
We present contributions to the theory of symmetric functions in three different but closely related directions. The first of these concerns the action of certain operators, the Verschiebung operators, on various families of symmetric functions. In the Schur function case this dates back to work of Littlewood and Richardson, and is intimately related with the decomposition of an integer partition into its core and quotient. More recently, Lecouvey and, independently, Ayyer and Kumari, provided similar expressions for the characters of the symplectic and orthogonal groups. We lift these to the level of universal characters and give a uniform generalisation involving a very general symmetric function defined by Hamel and King. The second direction concerns generalisations of Littlewood-type identities involving sums over partitions with empty 2-core. These formulae were recently conjectured by Lee, Rains and Warnaar as bounded Littlewood identities for Macdonald polynomials. We prove their conjectures in the Schur case using the powerful technique of virtual Koornwinder integrals developed by Rains and Warnaar. Finally, we provide combinatorial proofs of determinantal formulae, both of Jacobi–Trudi- and Giambelli-type, for skew symplectic and orthogonal characters. These are based on tableaux models for these skew characters given by Koike and Terada. Key in the proofs are the Lindström–Gessel–Viennot lemma and a modified reflection principle.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Symmetrische Funktionen Schur-Funktionen Littlewood-Identitäten Kerne und Quotienten von Zahlpartitionen Charaktere der klassischen Gruppen Universale Charaktere
Schlagwörter
(Englisch)
Symmetric functions Schur functions Littlewood identities Cores and quotients of partitions Classical group characters Universal characters
Autor*innen
Seamus Patrick Albion Ferlinc 
Haupttitel (Englisch)
Cores, quotients and symmetric functions
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
xx, 94 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Arvind Ayyer ,
Mark Wildon
Klassifikation
31 Mathematik > 31.12 Kombinatorik. Graphentheorie
AC Nummer
AC17751743
Utheses ID
75126
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |