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Fourier-Transformation in der Wechselstromtechnik
Anwendung komplexer Zahlen und die Faltung in der Signalverarbeitung
Daniel Bauer
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Lehramt Sek (AB) Unterrichtsfach Katholische Religion Unterrichtsfach Mathematik
Betreuer*in
Volker Branding
DOI
10.25365/thesis.78032
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-16071.66121.591255-3
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Der erste Teil dieser Masterarbeit widmet sich der Einführung und Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik. Nach einem historischen Überblick werden die mathematischen Grundlagen der komplexen Zahlen detailliert erläutert, einschließlich ihrer Definition, algebraischen Eigenschaften und Rechenoperationen. Es wird aufgezeigt, wie komplexe Zahlen durch ihre kartesische und polare Darstellung vielfältige Möglichkeiten zur Lösung mathematischer und technischer Probleme bieten. Besonderes Augenmerk liegt auf der geometrischen Interpretation in der Gaußschen Zahlenebene, der Verwendung der imaginären Einheit sowie der Bedeutung der Eulerschen Formel. Diese Grundlagen werden genutzt, um ihre Anwendung in der Wechselstromtechnik, etwa bei der Analyse von Schwingungen und elektrischen Signalen, zu veranschaulichen. Praktische Beispiele demonstrieren, wie komplexe Zahlen eine effiziente Lösung technischer Fragestellungen ermöglichen. Im zweiten Teil der Arbeit liegt der Fokus auf der Fourier-Transformation, die eine fundamentale Methode zur Analyse und Verarbeitung von Signalen darstellt. Nach einer Einführung in die mathematischen Grundlagen der Integralrechnung werden die Definition, Eigenschaften und Rechenregeln der Fourier-Transformation detailliert behandelt. Ein zentrales Anwendungsgebiet ist dabei die Faltung. Sie beschreibt die Wechselwirkung zweier Signale und ist essenziell für die Analyse linearer Systeme. In diesem Zusammenhang werden praktische Beispiele aus der Signalverarbeitung vorgestellt. Besonders das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem wird als bedeutende Konsequenz der Fourier-Analyse diskutiert, da es die Grenzen der digitalen Signalverarbeitung definiert.
Abstract
(Englisch)
The first part of this master’s thesis focuses on the introduction and application of complex numbers in alternating current (AC) technology. Following a historical overview, the mathematical foundations of complex numbers are thoroughly explained, including their definition, algebraic properties, and operations. The discussion highlights how complex numbers, through their Cartesian and polar representations, offer diverse approaches to solving mathematical and technical problems. Special emphasis is placed on the geometric interpretation within the Gaussian plane, the use of the imaginary unit, and the significance of Euler’s formula. These foundational concepts are applied to illustrate their relevance in AC technology, particularly in the analysis of oscillations and electrical signals. Practical examples demonstrate how complex numbers facilitate efficient solutions to technical challenges. In the second part of this thesis, the focus is on the Fourier transformation, which is a fundamental method for analyzing and processing signals. Following an introduction to the mathematical foundations of integral calculus, the definition, properties, and computational rules of the Fourier transformation are examined in detail. A key area of application is convolution, which describes the interaction of two signals and is essential for the analysis of linear systems. In this context, practical examples from signal processing are presented. Particular attention is given to the Nyquist-Shannon sampling theorem, which is discussed as a significant consequence of Fourier analysis, as it defines the limits of digital signal processing.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Fourier-Transformation komplexe Zahlen Faltung Integral Filter
Schlagwörter
(Englisch)
Fourier-Transformation Complex Numbers Convolution Integral Filter
Autor*innen
Daniel Bauer
Haupttitel (Deutsch)
Fourier-Transformation in der Wechselstromtechnik
Hauptuntertitel (Deutsch)
Anwendung komplexer Zahlen und die Faltung in der Signalverarbeitung
Paralleltitel (Englisch)
Fourier transformation in AC technology
Paralleluntertitel ()
application of complex numbers and convolution in signal processing
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
vii, 88 Seiten : Illustrationen
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Volker Branding
Klassifikation
31 Mathematik > 31.80 Angewandte Mathematik
AC Nummer
AC17473805
Utheses ID
75285
Studienkennzahl
UA | 199 | 518 | 520 | 02