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Efficiency in indirect inference

Florian Gach

Art der Arbeit

Dissertation

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Wirtschaftswissenschaften

Betreuer*in

Benedikt Pötscher

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DOI

10.25365/thesis.8367

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-29638.92536.163863-5

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Abstracts

Abstract

(Deutsch)

Es seien $X_{1},\ldots,X_{n}$ unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, und es liege ein (möglicherweise misspezifiziertes) parametrisches Modell mit Parameterraum $\Theta\subseteq\mathbb{R}^{m}$ vor. In dieser Arbeit erweitern wir die `Indirect Inference'-Methode durch Verwendung nicht-parametrischer Auxiliarmodelle. Dazu definieren wir den sogenannten auxiliaren Maximum-Likelihood-Schätzer $\hat{p}_{n}$ als Maximierer der Likelihood-Funktion über das gewählte Auxiliarmodell. Für Daten $X_{1}(\theta),\ldots,X_{k(n)}(\theta)$, die nach dem gegebenen Modell simuliert werden, definieren wir analog $\tilde{p}_{k(n)}(\theta)$ als Maximierer der entsprechenden Likelihood-Funktion. Wir zeigen zunächst, dass $\hat{p}_{n}$ und $\tilde{p}_{k(n)}(\theta)$ existieren und eindeutig sind, und definieren dann $\hat{\theta}_{n,k(n)}$ als Minimierer einer geeignet gewichteten $L^{2}$-Distanz zwischen $\hat{p}_{n}$ und $\tilde{p}_{k}(\theta)$. Wir beweisen, dass $\hat{\theta}_{n,k(n)}$ asymptotisch normalverteilt ist, so $k(n)$ von der Ordnung $n^{2+\alpha}$ mit $\alpha>0$ gewählt wird. Weiters zeigen wir, dass $\hat{\theta}_{n,k(n)}$ asymptotisch effizient ist, wenn das gegebene Modell korrekt spezifiert ist. Darüber hinaus untersuchen wir das asymptotische Verhalten von $\hat{\theta}_{n,k(n)}$ unter beliebigen konvergenten Parameterfolgen und erhalten wiederum asymptotische Effizienz. Schließlich zeigen wir, dass die auxiliaren Maximum-Likelihood-Schätzer Lösungen von endlich-dimensionalen Gleichungssystemen sind, was deren Berechnung ermöglicht.

Abstract

(Englisch)

We extend the method of indirect inference by using \emph{non-parametric} auxiliary models of densities. Suppose we observe i.i.d.~random variables $X_{1},\ldots,X_{n}$ and are given a (possibly misspecified) parametric model with parameter set $\Theta\subseteq\mathbb{R}^{m}$. The auxiliary maximum likelihood estimator given $X_{1},\ldots,X_{n}$ is defined as the maximizer of the auxiliary likelihood function and is denoted by $\hat{p}_{n}$. Similarly, for data $X_{1}(\theta),\ldots,X_{k(n)}(\theta)$ that are simulated according to the parametric model, define $\tilde{p}_{k(n)}(\theta)$ as the maximizer of the corresponding auxiliary likelihood function. We show that $\hat{p}_{n}$ and $\tilde{p}_{k(n)}(\theta)$ are unique, thereby allowing to define an indirect inference estimator $\hat{\theta}_{n,k(n)}$ as minimizer of an appropriately weighted $L^{2}$-distance between $\hat{p}_{n}$ and $\tilde{p}_{k(n)}(\theta)$. We prove that $\hat{\theta}_{n,k(n)}$ is asymptotically normal if $k(n)$ is chosen of order $n^{2+\alpha}$ for some $\alpha>0$; and that it is asymptotically efficient under correct specification of the parametric model. We also investigate the asymptotic behaviour of $\hat{\theta}_{n,k(n)}$ under convergent sequences of parameters and again obtain asymptotic efficiency. Finally, we show that the auxiliary maximum likelihood estimators are solutions of finite-dimensional systems of equations, thereby suggesting how to compute them.

Autor*innen

Florian Gach

Haupttitel (Englisch)

Efficiency in indirect inference

Publikationsjahr

2010

Umfangsangabe

110 S.

Sprache

Englisch

Beurteiler*innen

Benedikt Pötscher ,

Evarist Giné

Klassifikation

31 Mathematik > 31.73 Mathematische Statistik

AC Nummer

AC08150021

Utheses ID

7538

Studienkennzahl

UA | 084 | 136 | |

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