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Phase transitions in planar statistical mechanics

Ashkin-Teller and related models

Moritz Dober

Art der Arbeit

Dissertation

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Mathematik

Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)

Doktoratsstudium Naturwissenschaften: Mathematik

Betreuer*in

Alexander Glazman

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DOI

10.25365/thesis.78730

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-23766.68980.477881-6

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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)

Abstracts

Abstract

(Deutsch)

Diese Arbeit widmet sich der Untersuchung von Phasenübergängen und dem damit verbundenen Verhalten im Ashkin–Teller (AT)-Modell auf dem Quadratgitter \(\Z^2\) und seinen verwandten Modellen, einschließlich der Sechs- und Acht-Vertex-Modelle, des Potts-Modells und der FK-Perkolation. Das AT-Modell wurde als Verallgemeinerung des Ising-Modells eingeführt und kann durch ein Paar von Ising-Spin-Konfigurationen mit Kopplungskonstanten \(J,J'\) für jede von ihnen und \(U\) für ihr punktweises Produkt, welches deren Zusammenspiel beschreibt, dargestellt werden. Die Arbeit kann in drei Teile gegliedert werden. Der erste Teil untersucht das isotrope (\(J=J'\)) ferromagnetische AT-Modell auf dem Quadratgitter \(\Z^2\). Wir bestätigen das Auftreten eines einzigen Phasenübergangs wenn \(J\geq U>0\) und von zwei verschiedenen wenn \(U>J>0\). Im ersten Fall identifizieren wir den Übergang an der selbst-dualen Kurve. Im zweiten Fall zeigen wir, dass die beiden unterschiedlichen Übergangskurven zueinander dual sind. Ein wesentlicher Teil ist die genaue Untersuchung des selbst-dualen Modells durch seine Zusammenhänge mit dem Sechs-Vertex-Modell und der selbst-dualen FK-Perkolation. Das Hauptresultat in diesem Zusammenhang ist die \emph{exponentielle Abnahme der Korrelationen der einzelnen Spins und die gleichmäßige Positivität der Korrelationen des Produkts, jeweils im endlichen Volumen und unter den ungünstigsten Randbedingungen, wenn \(U>J\). Im zweiten Teil betrachten wir das AT-Modell in der Gegenwart negativer Kopplungskonstanten auf den Ganzzahlgittern \(\Z^d\) in beliebigen Dimensionen \(d\geq 2\) und wir bestätigen sowohl ferromagnetisches als auch antiferromagnetisches Verhalten. Wir weisen zunächst die Existenz einer partiellen antiferromagnetischen Phase im isotropen Modell in einem perturbativen Unterregime nach. In \(d=2\) zeigen wir, dass die zugehörige gestaffelte Sechs-Vertex-Höhenfunktion lokalisiert ist, während sie gleichzeitig antiferromagnetisches Verhalten aufweist. Anschließend demonstrieren wir ferromagnetisches Verhalten, indem wir ein weiteres Unterregime in eine Familie von glatten Kurven partitionieren, entlang derer das Modell einen subkritisch scharfen Ordnungs-Unordnungs-Phasenübergang durchläuft, wodurch die Schwierigkeit des Fehlens allgemeiner Monotonieeigenschaften in den Parametern umgangen wird. Der dritte Teil baut auf dem ersten auf und behandelt das zugehörige selbst-duale Potts-Modell mit \(q>4\) Zuständen auf dem Quadratgitter \(\Z^2\). Unter Ordnungs-Unordnungs-Dobrushin-Randbedingungen auf einer Box der Größe \(n\) weisen wir nach, dass die Grenzfläche zwischen den geordneten und ungeordneten Phasen dünn ist, Fluktuationen der Ordnung \(\sqrt{n}\) aufweist und reskaliert zu einer Brownschen Brücke konvergiert. Dies wird durch eine Kopplung mit einer graphischen Darstellung des AT-Modells erreicht, die es ermöglicht, die Grenzfläche des Potts-Modells mit einem subkritischen Cluster in Relation zu setzen, der darauf bedingt ist lange zu sein, und dann die renommierte Ornstein--Zernike-Theorie zu entwickeln, um die Konvergenz des Letzteren zu deduzieren. In einer weiteren Arbeit, die nicht Teil dieser Dissertation ist, bauen wir auf diesem Projekt auf und weisen das sogenannte Benetzungsphänomen nach. Wir präsentieren die relevante Kopplung des Potts-Modells unter Ordnungs-Ordnungs-Dobrushin-Randbedingungen und einer graphischen Darstellung des AT-Modells unter der Bedingung, dass zwei lange Cluster existieren, welche sich als gegenseitig abstoßend herausstellen.

Abstract

(Englisch)

This thesis is devoted to the study of phase transitions and the associated behaviour in the Ashkin–Teller (AT) model on the square lattice \(\Z^2\) and its related models, including the six- and eight-vertex models, the Potts model and FK percolation. The AT model was introduced in 1943 as a generalisation of the Ising model and may be represented by a pair of Ising spin configurations with coupling constants \(J,J'\) for each and \(U\) for their pointwise product, the latter describing the interaction within the pair. The thesis can be divided into three parts. The first part is a study of the isotropic (\(J=J'\)) ferromagnetic AT model on the square lattice \(\Z^2\). We confirm the presence of a single phase transition when \(J\geq U>0\) and two distinct ones when \(U>J>0\). In the uniqueness case, we identify the transition at the self-dual curve. In the non-uniqueness case, we show that the two distinct transition curves are dual to each other. A significant part is the detailed study of the self-dual model via its relations to the six-vertex model and self-dual FK percolation. The main result in this regard is exponential decay of correlations of the single spins and uniform positivity of correlations of the product, each in finite volume and under the respective least favourable boundary conditions, when \(U>J\). In the second part, we investigate the AT model in the presence of negative coupling constants on the hypercubic lattices \(\Z^d\) in any dimension \(d\geq 2\). Observing that it suffices to study the case \(J,J'\geq 0>U\), we confirm both ferromagnetic and antiferromagnetic behaviour in this regime. We first establish the existence of a partial antiferromagnetic phase in the isotropic model in a perturbative sub-regime. In \(d=2\), we show that the associated staggered six-vertex height function is localised, although it simultaneously exhibits antiferromagnetic behaviour. We then demonstrate ferromagnetic behaviour by partitioning another sub-regime into a collection of smooth curves along which the model undergoes a subcritically sharp order-disorder phase transition, circumventing the difficulty of the lack of general monotonicity properties in the parameters. The third part builds on the first one and deals with the associated self-dual Potts model with \(q>4\) states on the square lattice \(\Z^2\). Under order-disorder Dobrushin boundary conditions on a square box of size \(n\), we verify that the interface between the ordered and disordered phases is thin, has fluctuations of order \(\sqrt{n}\) and converges when rescaled to a Brownian bridge. This is achieved by a coupling with a graphical representation of the AT model, which allows to relate the interface in the Potts model to a subcritical cluster conditioned to be long, and then developing the celebrated Ornstein-Zernike theory to deduce convergence of the latter. We also show the analogous statements for self-dual FK percolation with \(q>4\). In a subsequent work, which is not part of the thesis, we further build on this project and establish the so-called wetting phenomenon in the Potts model. We present the relevant coupling of the Potts model under order-order Dobrushin boundary conditions and a graphical representation of the AT model, conditioned to admit a pair of long clusters, which turn out to be repulsive to each other.

Autor*innen

Moritz Dober

Haupttitel (Englisch)

Phase transitions in planar statistical mechanics

Hauptuntertitel (Englisch)

Ashkin-Teller and related models

Paralleltitel (Deutsch)

Phasenübergänge in der planaren statistischen Mechanik

Paralleluntertitel (Deutsch)

Ashkin-Teller und verwandte Modelle

Publikationsjahr

2025

Umfangsangabe

xiii, 179 Seiten : Illustrationen

Sprache

Englisch

Beurteiler*innen

Gábor Pete ,

Yvan Velenik

Klassifikation

31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung

AC Nummer

AC17586381

Utheses ID

75396

Studienkennzahl

UA | 796 | 605 | 405 |

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