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Binäre quadratische Formen und die Arithmetik des Ringes der Eisensteinzahlen
Astrid Mosgöller
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Lehramt Sek (AB) Unterrichtsfach Chemie Unterrichtsfach Mathematik
Betreuer*in
Joachim Mahnkopf
DOI
10.25365/thesis.78328
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-17258.02902.112995-7
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit einem Unterring der komplexen Zahlen, den sogenannten Eisensteinzahlen. Mithilfe zahlentheoretischer Grundlagen und Herleitungen wird die Arithmetik des Rings der Eisensteinzahlen, insbesondere die Teilbarkeit, Primelemente und eine eindeutige Faktorisierung erarbeitet. Genauer wird in dieser Masterarbeit gezeigt, dass die Eisensteinzahlen Z[ω] einen euklidischen Ring bilden, weswegen eine Division mit Rest und ein euklidischer Algorithmus durchgeführt werden können. Aus mehreren Ansätzen wird dann als zentrales Ergebnis ein Zerlegungsgesetz für Primzahlen p ∈ P in Z[ω] aufgestellt und vollständig mittels Reduktionstheorie von binären quadratischen Formen bewiesen. Unter Zuhilfenahme der Normabbildung δ : Z[ω] → N und des Zerlegungsgesetzes können anschließend die Primelemente in Z[ω] bestimmt und eine Primfaktorzerlegung berechnet werden.
Abstract
(Englisch)
The present thesis deals with a subring of the complex numbers, the so-called Eisenstein integers. Using number-theoretic basics and derivations the arithmetic of the ring of Eisenstein integers, particularly divisibility, prime elements, and unique factorization, is developed. More precisely, this master thesis shows that the Eisenstein integers Z[ω] form a Euclidean ring so that division with remainder and the application of a Euclidean algorithm can be carried out. Using several approaches a decomposition law for prime numbers p ∈ P in Z[ω] is then derived as a central result and completely proven by means of the reduction theory of binary quadratic forms. With the help of the norm mapping δ : Z[ω] → N and the decomposition law the prime elements in Z[ω] can then be determined and a prime factorization can be calculated.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Zerlegungsgesetz Binäre quadratische Formen Ganzheitsringe
Autor*innen
Astrid Mosgöller
Haupttitel (Deutsch)
Binäre quadratische Formen und die Arithmetik des Ringes der Eisensteinzahlen
Paralleltitel (Englisch)
Binary quadratic forms and the arithmetic of the ring of Eisenstein integers
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
iii, 78 Seiten : Illustrationen
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Joachim Mahnkopf
Klassifikation
31 Mathematik > 31.14 Zahlentheorie
AC Nummer
AC17524079
Utheses ID
75871
Studienkennzahl
UA | 199 | 504 | 520 | 02