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Zur Arithmetik und Geometrie der SL_2 über Ordnungen in Quaternionenalgebren
Steffen Philipp Kionke
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Joachim Schwermer
DOI
10.25365/thesis.8427
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29481.16666.347154-4
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der speziellen linearen Gruppe SL_n(O) über Ordnungen O in Quaternionenalgebren H über dem Körper der rationalen Zahlen, sowie torsionsfreien Normalteilern G dieser Gruppe. Die grundlegende Idee ist, dass man diese Gruppen studiert, indem man sie auf einem passenden Raum X wirken lässt. Dieser Raum ist in unserem Fall ein symmetrischer Raum, insbesondere eine Riemannsche Mannigfaltigkeit.
Auf der Gruppe SL_n(H) gibt es eine natürliche Involution, die von der Konjugation auf der Quaternionenalgebra herkommt. Diese induziert eine Wirkung der zweielementigen Gruppe C auf X/G. Wir bestimmen die Fixpunkte dieser Wirkung mit einer Methode von Rohlfs. Dazu parametrisieren wir die Zusammenhangskomponenten der Fixpunktmannigfaltigkeit über die erste nicht-abelsche Kohomologiemenge H^1(C,G) der zweielementigen Gruppe C mit Werten in G. Wir zeigen, dass die auftretenden Zusammenhangskomponenten Quotienten symmetrischer Räume der Form (Sp(p)×Sp(q))\Sp(p,q) oder U(n)\Sp(n,R) sind, abhängig davon, ob H über den reellen Zahlen R verzweigt oder zerfällt. Wir spezifizieren dies für n=2. In diesem Fall schätzen wir die Anzahl der Zusammenhangskomponenten ab und geben eine Beschreibung der auftretenden Fixpunktmannigfaltigkeiten.
Die Bestimmung der nicht-abelschen Kohomologie der zweielementigen Gruppe C mit Werten in SL_n(H) bzw. SL_n(O) spielt eine wichtige Rolle in dieser Arbeit und wird in den ersten zwei Kapiteln ausführlich behandelt.
Abstract
(Englisch)
This thesis deals with the special linear group SL_n(O) over orders O in quaternion algebras H over the field of rational numbers. Moreover, we consider torsion free normal subgroups G of SL_n(O). The basic idea is to study these groups by letting them act on a suitable space X. In particular, we choose X to be a riemannian symmetric space.
There is a natural involution on SL_n(H), induced by the conjugation of the quaternion algebra H. From this one obtains an action of the two-element group C on the orbit space X/G. We determine the fixed points of this action using a method of Rohlfs. We achieve this by parametrising the connected components of the fixed point manifold with the elements of the first non-abelien cohomology set H^1(C,G) of C with values in G. We show, that the connected components are quotients of symmetric spaces of the form (Sp(p)×Sp(q))\Sp(p,q) if H is ramified over R or U(n)\Sp(n,R) if H splits over R. In the case n=2 we give a further description of the connected components and we give an upper bound for the number of connected components.
A large part of the thesis is devoted to the understanding of the non-abelian cohomology of the two-element group C with values in SL_n(H) or SL_n(O). This is done in detail in the first two chapters.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
quaternion algebra orders involution special linear group fixed points non-abelian cohomology
Schlagwörter
(Deutsch)
Quaternionenalgebra Ordnungen Involution spezielle lineare Gruppe Fixpunkte nicht-abelsche Kohomologie
Autor*innen
Steffen Philipp Kionke
Haupttitel (Deutsch)
Zur Arithmetik und Geometrie der SL_2 über Ordnungen in Quaternionenalgebren
Publikationsjahr
2010
Umfangsangabe
77 S.
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Joachim Schwermer
AC Nummer
AC08130203
Utheses ID
7595
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |