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Mathematical aspects of geophysical fluid flows
Luigi Roberti
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium Naturwissenschaften: Mathematik
Betreuer*in
Adrian Constantin
DOI
10.25365/thesis.79097
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-18022.21174.143491-7
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Arbeit stützt sich auf sechs Artikel zu verschiedenen Themen der mathematischen Geophysikalischen Fluiddynamik (GFD), denen im ersten Kapitel eine Einführung vorausgeht, die den notwendigen Hintergrund und einen Überblick über die GFD liefert. Das zweite Kapitel befasst sich mit der ozeanischen Ekman-Schicht - der relativ dünnen Grenzschicht an der Oberseite des Ozeans, in der horizontale Druckgradienten- und Rotationskräfte (Corioliskräfte) durch Reibungskräfte aufgrund des Windes ausgeglichen werden - in der f-Ebenen-Approximation, einer Tangenten-Ebenen-Approximation, die die Verwendung lokaler kartesischer Koordinaten erlaubt. Einerseits führt ein perturbativer Ansatz für das ODE-Modell für stetige Ekman-Strömungen zu einem quantitativen Ergebnis bezüglich des Winkels zwischen der Oberflächenströmung und dem erzeugenden Wind. Andererseits untersuchen wir mit Hilfe der Laplace-Transformation die Entwicklung und Langzeitdynamik der Oberflächenströmung im Rahmen instationärer Ekman-Strömungen mit zeitabhängigem erzeugendem Wind und zeitabhängiger (aber in der Tiefe gleichmäßiger) Wirbelviskosität. Das dritte Kapitel konzentriert sich auf ozeanische Strömungen in Kugelkoordinaten, und zwar auf Modelle, die mit Hilfe der so genannten Dünnschalennäherung abgeleitet werden, die das kleine Seitenverhältnis des Ozeans ausnutzt, um die herrschenden Gleichungen zu vereinfachen, während die Auswirkungen der Kugelgeometrie beibehalten werden, und die in zwei verschiedenen Situationen angewendet werden. Zunächst befassen wir uns mit einem nichtstationären Modell (mit konstanter Dichte) für den antarktischen Zirkumpolarstrom (ACC). Nachdem wir die Existenz und Einzigartigkeit klassischer Lösungen dieses Modells nachgewiesen haben, zeigen wir durch die Verwendung konservierter Größen zur Konstruktion einer Lyapunov-Funktion, dass eine bestimmte Familie stetiger Lösungen - die bei geeigneter Wahl der Parameter den Beobachtungen des durchschnittlichen Geschwindigkeitsfeldes des ACC sehr nahe kommt - Lyapunov-stabil ist. Anschließend untersuchen wir stationäre Wirbelströmungen mit variabler Dichte unter Verwendung elliptischer Vergleichsprinzipien, die quantitative Schätzungen der Pseudostromfunktion ergeben. Im vierten Kapitel schließlich diskutieren wir die Wohlgestelltheit eines Modells (das auf eine semilineare parabolische Gleichung mit nichtlokalen Nichtlinearitäten reduziert werden kann), welches ein bemerkenswertes atmosphärisches Phänomen beschreibt, das als „Morning Glory‟-Wolkenmuster bekannt ist. Indem wir das Problem als abstraktes parabolisches Problem in einem geeigneten funktionalanalytischen Rahmen umschreiben, beweisen wir ein lokale starke Wohlgestelltheits, dann zeigen wir mit Hilfe eines Galerkin-Approximationsschemas die Existenz globaler schwacher Lösungen in einem geeigneten Sinne, und schließlich wenden wir neuere abstrakte Resultate für semilineare parabolische Gleichungen an, um globale Wohlgestelltheit für das homogene Problem mit kleinen Anfangsdaten zu beweisen.
Abstract
(Englisch)
This thesis builds upon six articles on various topics of mathematical Geophysical Fluid Dynamics (GFD), preceded, in the first chapter, by an introduction which provides the necessary background and an overview of GFD. The second chapter deals with the oceanic Ekman layer - the relatively thin boundary layer at the top of the ocean, where horizontal pressure-gradient and rotational (Coriolis) forces are balanced by frictional forces due to the wind - in the f-plane approximation, a tangent-plane approximation that permits the use of local Cartesian coordinates. On the one hand, a perturbative approach to the ODE model for steady Ekman flows leads to a quantitative result regarding the angle between the surface current and the generating wind. On the other hand, by means of the Laplace transform, we study the evolution and long-time dynamics of the surface current in the setting of unsteady Ekman flows with time-dependent generating wind and time-dependent (but uniform-in-depth) eddy viscosity. The third chapter focuses on oceanic flows in spherical coordinates, more specifically on models derived by means of the so-called thin-shell approximation, which takes advantage of the small aspect ratio of the ocean to simplify the governing equations while retaining the effects of spherical geometry, and which is applied in two different settings. First, we are concerned with an unsteady model (with constant density) for the Antarctic Circumpolar Current (ACC). After we establish the existence and uniqueness of classical solutions to this model, we show, by using conserved quantities to construct a Lyapunov function, that a certain family of steady solutions - which, under a suitable choice of parameters, closely fits observations of the average velocity field of the ACC - is Lyapunov stable. Then, we investigate steady gyre flows with variable density using elliptic comparison principles, which yield quantitative estimates on the pseudo stream function. Finally, in the fourth chapter, we discuss the well-posedness of a model - which can be reduced to a semilinear parabolic equation with nonlocal nonlinearities - that describes a remarkable atmospheric phenomenon known as the ‘morning glory’ cloud pattern. Rewriting the problem as an abstract parabolic problem in an appropriate functional analytic setting, we prove a local strong well-posedness result, then, by means of a Galerkin approximation scheme, we establish the existence of global weak solutions, in a suitable sense, and finally we apply some recent abstract theory for semilinear parabolic equations to prove global well-posedness for the homogenous problem with small initial data.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Geophysikalische Strömungsmechanik Partielle Differentialgleichungen Navier-Stokes-Gleichungen Euler-Gleichungen Ozeanische Strömungen Atmospherische Strömungen Ekman layer Parabolische Differentialgleichungen Wohlgestelltheit Stabilität
Schlagwörter
(Englisch)
Geophysical Fluid Dynamics Partial differential equations Navier-Stokes equations Euler equations Oceanic currents Atmospheric flows Ekmanschicht Parabolic partial differential equations Well-posedness Stability
Autor*innen
Luigi Roberti 
Haupttitel (Englisch)
Mathematical aspects of geophysical fluid flows
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
viii, 112 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Evgeniy Lokharu ,
Samuel Walsh
AC Nummer
AC17623322
Utheses ID
76235
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |