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Independence in higher Baire spaces
Anna Lenz
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Vera Fischer
DOI
10.25365/thesis.78624
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-18247.18158.283229-8
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Das Thema dieser Arbeit ist es, die \textit{independence number} \(\mathfrak{i}\) auf höhere Kardinalitäten zu verallgemeinern. Zu Beginn zeigen wir, dass es konsistent ist, dass \(\mathfrak{i}< \mathfrak{c}\) gilt. Dafür führen wir \textit{independent families} ein and definieren \(\mathfrak{i}\) als die kleinste Kardinalität einer solchen Familie. Schließlich werden \textit{densely maximal} und \textit{selective independent families} definiert. Im nächsten Kapitel liegt der Fokus auf dem \(\kappa\)-\textit{Sacks forcing}, wobei \(\kappa\) eine überabzählbare, stark unerreichbare Kardinalzahl ist. Anschließend werden \textit{preprocessed conditions} einge- führt. Diese spielen beim anschließenden Konsistenzbeweis eine entscheidende Rolle. Am Ende des Kapitels wird das abzählbare \textit{Sacks forcing} verwendet. Wir zeigen, dass bei Iterationen mit abzählbarem Support, eine \textit{densely maximal independent family} im finalen Modell \textit{densely maximal} bleibt. Im letzten Kapitel wird nun dieses Resultat für höhere Kardinalitäten verallgemeinert. Dafür werden \(\kappa\)-\textit{independent families} definiert, sowie auch \(\mathfrak{i}(\kappa)\), wobei \(\kappa\) regulär und überabzählbar ist. Mithilfe eines Produkts von \(\lambda\) vielen \textit{Sacks forcings} für \(\lambda >\kappa\), dessen Support \(\kappa\) ist, erhalten wir ein Modell in dem \(\mathfrak{i}(\kappa)=\kappa^{+}\) aber \(2^{\kappa}>\kappa^{+}\) gilt. Am Ende widmen wir uns noch \textit{strongly independent familes} und offenen Fragen.
Abstract
(Englisch)
The main topic of this thesis is a possible generalisation of independence number denoted \(\mathfrak{i}\) to the higher Baire space. The first goal is to show the consistency of \(\mathfrak{i}<\mathfrak{c}\). In order to prove this independent families will be introduced. The number \(\mathfrak{i}\) will be defined as the minimum cardinality of a maximal independent family. After this, densely maximal and selective independent families will be defined. The next chapter will focus on the \(\kappa\)-Sacks forcing for some uncountable, inaccessible cardinal \(\kappa\). Preprocessed conditions will be introduced and will later play a crucial role for the consistency proof. Finally, the countable Sacks forcing will be considered. We will show that countable support iterations of the countable Sacks forcing preserve densely maximal independent families. In the last chapter the result of the independence number will be generalised to higher Baire space. So we will define \(\kappa\)-independent families for regular, uncountable \(\kappa\) and the \(\kappa\)-independence number \(\mathfrak{i}(\kappa)\). Similar to the previous chapter the \(\kappa\)-support product of \(\lambda\) many copies of Sacks forcing posets for some regular uncountable \(\lambda > \kappa\) will be used to obtain a model in which \(\mathfrak{i}(\kappa)=\kappa^{+}\) but \(2^{\kappa}>\kappa^{+}\). The thesis will be concluded with some remarks about strongly \(\kappa\)-independent families and open questions.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Kardinalcharakteristiken
Schlagwörter
(Englisch)
Cardinal Characteristics Independence Number
Autor*innen
Anna Lenz
Haupttitel (Englisch)
Independence in higher Baire spaces
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
iv, 53 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Vera Fischer
Klassifikation
31 Mathematik > 31.10 Mathematische Logik. Mengenlehre
AC Nummer
AC17563964
Utheses ID
76275
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |