Detailansicht
Parametric spectral theory with an eye towards applications to contact geometry
Willi Kepplinger
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium Naturwissenschaften: Mathematik
Betreuer*in
Vera Vértesi
DOI
10.25365/thesis.79052
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-19084.16008.869812-3
Link zu u:search
(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die vorliegende Dissertation untersucht parametrische Argumente in der Spektraltheorie des Curl-Operators und des Laplace-Beltrami-Operators, motiviert durch Fragestellungen aus der Kontaktgeometrie und -topologie. Die Kontakttopologie beschäftigt sich mit der Topologie total nicht-integrabler Hyperflächenfelder und ist von großer Bedeutung für die niedrigdimensionale Topologie. Eine Charakterisierung von Kontaktformen in Dimension 3 als nirgends verschwindende Lösungen des Eigenwertproblems des Curl-Operators eröffnet einen geometrisch-analytischen Zugang zu diesem Gebiet. Eines der Ziele der vorliegenden Arbeit ist es, die spektraltheoretische Grundlage für zukünftige Untersuchungen in diese Richtung zu schaffen. Zu diesem Zweck beweisen wir die generische spektrale Einfachheit des Curl-Operators entlang eindimensionaler Familien Riemannscher Metriken. Wir erhoffen uns dass dieses Resultat zu Flexibilitätsergebnissen für Eigenformen des Curl-Operators führt. Dieses Projekt ist motiviert durch die fundamentale Rolle die eindimensionale Familien von Kontaktstrukturen in der Kontakttopologie einnehmen. In gemeinsamer Arbeit mit Josef Greilhuber werden weitreichende Verallgemeinerungen dieser Argumente verwendet um eine Vermutung von Vladimir Arnold über das Aufspaltungsverhalten mehrfacher Eigenwerte des Laplace-Beltrami-Operators unter Störungen der Metrik zu lösen. Durch dieses Ergebnis kennen wir nun die Kodimension des Raums der Metriken, für die der Laplace-Beltrami-Operator mindestens einen Eigenwert der Vielfachheit m besitzt. Die Tatsache, dass Kontaktformen in Dimension drei Eigenfelder des Curl-Operators und damit eine reiche Klasse stationärer Lösungen der dreidimensionalen Euler-Gleichungen darstellen, kann genutzt werden, um exotische Lösungen dieser Gleichungen zu konstruieren. Die Kombination von Erkenntnissen aus der Theorie dynamischer Systeme mit einem guten Verständnis der Störungstheorie des Curl-Operators ermöglicht es, eine stationäre Lösung der dreidimensionalen Euler-Gleichungen zu konstruieren, die bezüglich der $C^1$-Topologie isoliert ist. Dieses Resultat wurde in gemeinsamer Arbeit mit Alberto Enciso und Daniel Peralta-Salas erzielt. Ein weiteres in dieser Dissertation dargestelltes Resultat, ebenfalls in Zusammenarbeit mit Josef Greilhuber erlangt, betrifft die Spektralgeometrie des Curl-Operators auf glatt berandeten Gebieten im dreidimensionalen euklidischen Raum. Wir zeigen, dass für generische glatt berandete Gebiete das Spektrum des Curl-Operators aus diskreten Eigenwerten der Vielfachheit eins besteht. Ein entscheidender Schritt dabei ist die Herleitung einer Variationsformel für die Änderung der Eigenwerte des Curl-Operators in erster Ordnung entlang von Deformationen des zugrunde liegenden glatt berandeten Gebiets.
Abstract
(Englisch)
This thesis explores parametric arguments in the spectral theory of the curl and Laplace-Beltrami operator, motivated by problems coming from contact geometry and topology. Contact topology is the study of the topology of totally non-integrable hyperplane fields, and its importance to low dimensional topology is well known. A characterization of contact forms in dimension $3$ as nowhere vanishing solutions to the eigenvalue problem of the curl operator opens up a geometric-analytic approach to the subject. One of the aims of this thesis is to build the spectral theoretic foundation for future investigations of this research direction. To this end, we prove generic spectral simplicity of the curl operator along $1$-parameter families of Riemannian metrics, a result we hope will lead to flexibility results for eigenforms of the curl operator. This project is motivated by the fundamental importance $1$-parameter families of contact structures in contact topology. In joint work with Josef Greilhuber, far reaching generalizations of these arguments are used to resolve a conjecture of Vladimir Arnold on the splitting behaviour of multiple eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator under perturbation of the metric. Due to this result we now know the codimension of the space of metrics for which the Laplace-Beltrami operator has at least one eigenvalue of multiplicity m. The fact that contact forms in dimension three are eigenforms of the curl operator and present a rich class of stationary solutions to the three dimensional Euler equations can be exploited to construct exotic solutions to those equations. Combining input from dynamical systems with a good understanding of the perturbation theory of the curl operator allows one to engineer a stationary solution to the three dimensional Euler equations which is isolated in the $C^1$ topology. This part of the thesis is joint work with Alberto Enciso and Daniel Peralta-Salas. Another result detailed in this thesis, again obtained in collaboration with Josef Greilhuber, concerns the spectral geometry of the curl operator on smoothly bounded domains in three dimensional Euclidean space. We show that for generic smoothly bounded domains, the spectrum of the curl operator consists of discrete eigenvalues of multiplicity one. As a crucial step we derive a variational formula for the first-order change of eigenvalues of the curl operator along deformations of the underlying smoothly bounded domain.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Spektraltheorie des Rotationsoperators Kontaktgeometrie Kontakttopologie Perturbationstheorie von kompakten Operatoren
Schlagwörter
(Englisch)
Spectral theory of curl operator contact geometry contact topology perturbation theory of compact operators
Autor*innen
Willi Kepplinger 
Haupttitel (Englisch)
Parametric spectral theory with an eye towards applications to contact geometry
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
x, 123 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
John Etnyre ,
Eugenia Malinnikova
Klassifikation
31 Mathematik > 31.52 Differentialgeometrie
AC Nummer
AC17617236
Utheses ID
76287
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |