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Optimal transport and financial applications
Lorenz Riess
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium Naturwissenschaften: Mathematik
Betreuer*innen
Julio Daniel Backhoff-Veraguas ,
Mathias Beiglböck
DOI
10.25365/thesis.79662
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-21819.33024.853150-0
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Optimaler Transport zeichnet sich als mathematisches Forschungsfeld durch ein besonders intensives Wechselspiel zwischen Theorie und Anwendung aus. Fragestellungen aus der Praxis – insbesondere aus Bereichen wie Finanzwesen, Ökonomie und Data Science – führen zu neuen Varianten des klassischen Transportproblems, während diese theoretischen Verallgemeinerungen ihrerseits neue Anwendungsfelder eröffnen. Diese Arbeit widmet sich diesem gegenseitigen Austausch mit einem besonderen Fokus auf der Anwendung von Methoden der optimalen Transporttheorie in der Finanzmathematik. Das erste Kapitel dieser Arbeit stellt eine neuartige Anwendung optimalen Transports in der Finanzmarktregulierung vor. Motiviert durch Herausforderungen, vor denen Aufsichtsbehörden bei der Analyse großer Mengen an Kreditdaten stehen, interpretieren wir Kreditportfolios von Banken als Wahrscheinlichkeitsmaße. Mithilfe verallgemeinerter Wasserstein-Baryzentren entwickeln wir ein Clustering- und Rekonstruktionsverfahren für Wahrscheinlichkeitsmaße, die auf unterschiedlichen Teilräumen definiert sind. Dies ermöglicht die Definition eines Abstandsbegriffs zwischen Finanzinstituten und führt zu einer Bankenlandschaft, welche zur Identifikation von Clustern und Ausreißern im Finanzsystem genutzt werden kann. Das zweite Kapitel widmet sich der Theorie des nichtlinearen optimalen Transports, einer Verallgemeinerung des klassischen optimalen Transportproblems, welche nichtlineare Kostenfunktionen erlaubt. Wir beweisen einen fundamentalen Satz des nichtlinearen optimalen Transports; insbesondere zeigen wir Dualität und eine Komplementaritätsbedingung. Dieses Resultat ermöglicht eine Vielzahl von Anwendungen: die konvexe Kantorovich-Rubinstein-Formel, der Satz von Brenier-Strassen und der Struktursatz des entropischen optimalen Transports folgen direkt. Zudem ergeben sich neue Resultate zu einem relaxierten Martingaltransportproblem sowie zu einer Interpolation zwischen Brenier-Strassen und Martingal-Benamou-Brenier. Das dritte Kapitel dieser Arbeit verbindet nichtlinearen Martingaltransport mit lokalen Volatilitätsmodellen aus der Finanzmathematik. Eine Verallgemeinerung der Numérairewechsel Transformation, einer klassischen Methode der Finanzmathematik, auf das nichtlineare Martingaltransportproblem ermöglicht es, eine Verbindung zwischen Bass-Martingalen und einer neuen Klasse von Prozessen herzustellen: den geometrischen Bass-Martingalen. Dies führt zu einem lokalen Volatilitätsmodell, das dem in der Finanzpraxis etablierten Black-Scholes-Modell möglichst nahekommt, dabei jedoch eine exakte Kalibrierung an beobachtete Marktpreise erlaubt. Insgesamt zeigt diese Arbeit, wie Fortschritte im Bereich des optimalen Transports sowohl durch praktische Fragestellungen motiviert sein können als auch zu deren Lösung beitragen und leistet darüber hinaus einen Beitrag zur theoretischen Weiterentwicklung des Gebiets.
Abstract
(Englisch)
Optimal transport stands out as a mathematical field due to its rich interplay between theory and applications. Questions arising from practice - particularly in areas such as finance, economics, and data science - lead to new variants of the classical optimal transport framework. These theoretical extensions, in turn, enable further applications. This thesis is devoted to this exchange between theory and applications, with a particular focus on the use of optimal transport tools in financial contexts. The first chapter of this thesis introduces a novel application of optimal transport in financial regulation. Motivated by the challenges faced by regulators of the financial industry in analyzing large amounts of credit data, we represent the credit portfolios of financial institutions as probability measures. Using generalized Wasserstein barycenters, we develop a clustering and reconstruction method for probability measures defined on different subspaces. This enables the construction of a metric structure over financial institutions, resulting in a banking landscape that can be used to identify clusters and detect outliers in the financial system. The second chapter is devoted to the theory of weak optimal transport, an extension of classical optimal transport that allows for non-linear cost functions. We prove a fundamental theorem of weak optimal transport; in particular, we establish duality and a complementary slackness condition. This results in a wide range of applications, allowing us to recover the convex Kantorovich-Rubinstein formula, the Brenier-Strassen theorem, the structure theorem of entropic optimal transport, and to obtain new results concerning relaxed martingale optimal transport, as well as interpolations between Brenier-Strassen and martingale Benamou-Brenier. The third chapter of this thesis connects weak martingale optimal transport to local volatility modeling in mathematical finance. By extending the classical change of numeraire transformation to weak martingale optimal transport, we relate Bass martingales to a new class of processes, namely geometric Bass martingales. This yields a local volatility model that is as close as possible to the Black-Scholes model, the benchmark model in the financial industry, while being perfectly calibrated to observed market prices. Overall, this thesis illustrates how advances in optimal transport can be both applied to, and motivated by, practical problems in the financial sector, while simultaneously contributing to the theoretical development of the field.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Optimaler Transport Finanzmathematik nichtlinearer optimaler Transport Martingaltransport nicht-parametrische Modelle
Schlagwörter
(Englisch)
optimal transport mathematical finance weak optimal transport martingale transport non-parametric models
Autor*innen
Lorenz Riess
Haupttitel (Englisch)
Optimal transport and financial applications
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
xxi, 107 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Luciano Campi ,
Elsa Cazelles
Klassifikation
31 Mathematik > 31.00 Mathematik. Allgemeines
AC Nummer
AC17716993
Utheses ID
76665
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |