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McKean stochastic differential equations and selected applications in mathematical finance
Johannes Rotheneder
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Uwe Schmock
DOI
10.25365/thesis.79135
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-26940.32640.758057-2
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Stochastische Differentialgleichungen (SDGLn) McKean'scher Art besitzen Koeffizienten, die neben der Zeit und dem Pfad der Lösung auch von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Lösung abhängen. Sie treten bei der wahrscheinlichkeitstheoretischen Betrachtung von Systemen auf, die aus vielen wechselwirkenden Bestandteilen, auch Partikel genannt, bestehen. In diesem Kontext kann die Wechselwirkung eines einzelnen Partikels mit dem Rest des Systems durch eine Wechselwirkung mit der Verteilung eines einzelnen repräsentativen Partikels modelliert werden -- der Verteilung der Lösung der McKean-SDGL. Diese Arbeit stellt die Theorie der McKean-SDGLn und ausgewählte Anwendungen in der Finanzmathematik vor. Wir betrachten McKean-SDGLn auf einem unendlichen Zeithorizont, deren Koeffizienten und zugrundeliegenden Brown'sche Bewegungen Werte in reellen oder komplexen euklidischen Räumen annehmen. Die Koeffizienten können von der Zeit, dem zurückliegenden Pfad der Lösung, dem Wahrscheinlichkeitsmaß des zurückliegenden Pfades der Lösung sowie von zusätzlichem, einer Adaptiertheitsbedingung unterliegendem Zufall abhängen. Unter der Annahme von Lipschitz-Stetigkeit und beschränktem Wachstum der Koeffizienten beweisen wir die starke Existenz und pfadweise Eindeutigkeit von Lösungen. Unter denselben Voraussetzungen, jedoch unter Ausschluss der Abhängigkeit der Koeffizienten von zusätzlichem Zufall, beweisen wir außerdem die schwache Eindeutigkeit und beschreiben die Partikelapproximation, welche eine Methode zur numerischen Simulation von Lösungen von McKean-SDGLn bereitstellt. Anschließend beweisen wir deren Konvergenz und leiten eine explizite Konvergenzrate unter der Annahme her, dass die Koeffizienten vom Maßargument nur über die eindimensionalen Randverteilungen der Lösung abhängen. Der zweite Teil der Arbeit widmet sich ausgewählten Anwendungen von McKean-SDGLn in der Finanzmathematik. Eine wichtige Anwendung bei der Bewertung exotischer Optionen ist die Kalibrierung lokaler stochastischer Volatilitätsmodelle an Markt-Smiles impliziter Volatilitäten. Dieses Problem lässt sich mithilfe einer Partikelmethode lösen, welche bei mehreren stochastischen Faktoren im Modell vorteilhaft ist gegenüber Verfahren, die auf partiellen Differentialgleichungen basieren. Im Kontext der Zinsmodellierung diskutieren wir eine Mean-Field-Version des LIBOR-Marktmodells (LMM), welche dem Problem der Explosion von Terminzinssätzen im klassischen LMM durch eine Abhängigkeit der SDGL-Koeffizienten von der Varianz der Terminzinssatzprozesse begegnet. Mehrere Anhänge stellen die erforderlichen Grundlagen bereit. Dies umfasst pseudometrische Räume, Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie, eine umfassende Diskussion klassischer SDGLn und ausgewählte Resultate aus der Theorie der Wasserstein-Räume.
Abstract
(Englisch)
Stochastic differential equations (SDEs) of McKean type have coefficients which depend, in addition to time and the trajectory of the solution, also on the probability distribution of the solution. They arise in the probabilistic study of systems consisting of many interacting agents, also referred to as particles. In this setting, the interaction of a single particle with the rest of the system can sometimes be modelled by an interaction with the distribution of a single representative particle---the distribution of the solution of the McKean SDE. This thesis presents the theory of McKean SDEs and selected applications in mathematical finance. We consider McKean SDEs on an infinite time horizon, with coefficients and driving Brownian motions taking values in real or complex Euclidean spaces. The coefficients may depend on time, the past path of the solution, the probability distribution of the past path of the solution, and additional randomness subject to an adaptedness condition. Under Lipschitz continuity and bounded growth conditions, we prove strong existence and pathwise uniqueness of solutions. In the same setting, but excluding dependence of coefficients on additional randomness, we furthermore prove weak uniqueness and describe the particle approximation, which provides a method for the numerical simulation of solutions of McKean SDEs. Subsequently, we prove its convergence and establish an explicit rate of convergence in the case where the coefficients depend on the measure argument only through the marginal distributions. The second part of the thesis is devoted to applications of McKean SDEs to mathematical finance. An important application to the pricing of exotic options is the calibration of the local stochastic volatility model to market smiles of implied volatilities by means of a particle method, which has advantages over PDE-based methods in the presence of many stochastic factors driving the model. In the context of interest rate modelling, we discuss a mean-field version of the LIBOR market model (LMM), which addresses the problem of explosion of forward interest rates in the classical LMM through a dependence of SDE coefficients on the variance of the forward interest rate process. Several appendices provide the required foundation. This includes pseudometric spaces, measure and probability theory, a comprehensive discussion of classical SDEs, and selected results from the theory of Wasserstein spaces.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Stochastische Differentialgleichungen McKean'scher Art Partikelmethode Ausbreitung des Chaos Lokale stochastische Volatilitätsmodelle Mean-Field LIBOR Marktmodelle
Schlagwörter
(Englisch)
McKean stochastic differential equations Propagation of chaos Particle method Local stochastic volatility Mean-field LIBOR market model
Autor*innen
Johannes Rotheneder 
Haupttitel (Englisch)
McKean stochastic differential equations and selected applications in mathematical finance
Paralleltitel (Deutsch)
Stochastische Differentialgleichungen McKean'scher Art und ausgewählte Anwendungen in der Finanzmathematik
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
viii, 202 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Uwe Schmock
Klassifikation
31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung
AC Nummer
AC17626731
Utheses ID
76749
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |