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On the Big Bang formation for cosmological solutions to non-vacuum Einstein equations
Liam Dylan Urban
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium Naturwissenschaften: Mathematik
Betreuer*innen
Michael Eichmair ,
David Fajman
DOI
10.25365/thesis.79922
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-11504.47551.259922-0
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Friedman-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) Raumzeiten sind aufgrund des Kosmologischen Prinzips natürliche Modelle unseres Universums. Dieses besagt, dass kein Ort und keine Richtung in unserem Universum eine besondere Rolle hat, wenn man es auf großen Skalen betrachtet. Da das Kosmologische Prinzip von Beobachtungen gestützt ist, kann das physikalische Universum gut von FLRW Raumzeiten modelliert werden. Allerdings ist eine vollständige mathematische Untersuchung dieser Lösungen erforderlich, um zu verstehen, inwieweit diese Approximation in der frühen Vergangenheit oder fernen Zukunft valide bleibt, bei denen Folgerungen aus Messmethoden an ihre Grenzen stoßen. Daher wird in dieser Arbeit die Stabilität von FLRW Modellen als Lösungen der Einstein-Gleichungen untersucht, vornehmlich in Richtung der Urknallsingularität. Dies läuft darauf hinaus, dass man die Blow-up-Stabilität von Lösungen zu einem elliptisch-hyperbolischen System partieller Differentialgleichungen studiert. Die Dissertation besteht aus drei Arbeiten sowie einer kurzen Einführung in kosmologische und mathematische Aspekte der Urknalltheorie. Im ersten Resultat werden Anfangsdaten für das Einstein-Skalarfeld-System betrachtet, die Daten für eine FLRW Raumzeit mit negativer räumlicher Krümmung naheliegen. In der kontrahierenden Richtung wird gezeigt, dass die maximale global hyperbolische Entwicklung dieser Daten unvollständig ist und zu einer ruhenden, zerdrückenden Urknallsingularität führt. In der expandierenden Richtung ist die Entwicklung vollständig und nähert sich asymptotisch der Vakuumlösung an, sofern die räumliche Referenzgeometrie eine bestimmte Spektralbedingung erfüllt. Diese Resultate lassen sich zu einem globalen Stabilitätsresultat für eine große Klasse an FLRW Raumzeiten mit negativer Raumkrümmung verbinden. Die zwei folgenden Abschnitte befassen sich mit der Urknallentstehung für das Einstein-Skalarfeld-Vlasov-System in vier beziehungsweise drei Raumzeitdimensionen. Es wird gezeigt, dass FLRW Lösungen mit isotroper Materie und beliebiger räumlicher Geometrie vergangenheitsstabil sind, wobei das asymptotische Verhalten der Raumzeit und des Skalarfelds mit dem im ersten Resultat übereinstimmt. Zusätzlich wird gezeigt, dass die Vlasov-Verteilung sich als Funktion auf der Ko-Massenschale zum Urknall vorsetzen lässt, während die führende Ordnung der Komponenten des Vlasov Energie-Impuls-Tensors leicht degeneriert. Abschließend wird das (2+1)-dimensionale Stabilitätsresultat genutzt, um die Vergangenheitsstabilität von (3+1)-dimensionalen Vakuumlösungen in polarisierter U(1)-Symmetrie zu beweisen.
Abstract
(Englisch)
Friedman-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) spacetimes arise as natural models for our universe by virtue of the Cosmological Principle. This principle posits that, when viewed at large scales, no point and no direction in our universe has a preferential role. Observations support the Cosmological Principle, i.e., the physical universe is well approximated by FLRW models. However, a full mathematical analysis of these models is necessary to understand to what extent this approximation remains valid in our distant past and future, to which we cannot fully apply observational methods. To this end, this thesis studies the stability of FLRW spacetimes as solutions to the Einstein equations, predominantly towards the Big Bang singularity. This amounts to analysing the blow-up stability of solutions to an elliptic-hyperbolic system of partial differential equations. The thesis consists of three works, preceded by a brief introduction to cosmological and mathematical aspects of Big Bang formation. In the first work, initial data for the Einstein scalar-field equations close to that of an FLRW spacetime with negative spatial curvature is considered. In the contracting direction, it is shown that the maximal globally hyperbolic development of said initial data is incomplete, forming a quiescent crushing Big Bang singularity. In the expanding direction, their development is complete and asymptotically approaches the vacuum solution, provided that a certain spectral assumption with respect to the spatial reference geometry holds. These results combine into a global stability result for a large class of FLRW spacetimes with negative spatial curvature. The two subsequent works are concerned with Big Bang formation for the Einstein scalar-field Vlasov system in four and three spacetime dimensions respectively. FLRW solutions with isotropic matter and arbitrary spatial geometry are shown to be past stable, with the spacetime and scalar field behaviour matching that of the first result. Additionally, the Vlasov distribution is shown to be extendible towards the past when viewed on the co-mass shell, while the leading asymptotic order of the components of the Vlasov energy-momentum tensor lightly degenerates. Finally, the (2+1)-dimensional stability result is leveraged to control the past asymptotics of (3+1)-dimensional vacuum solutions in polarized U(1)-symmetry.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Einstein-Gleichungen Singularitätenbildung Cosmic Censorship Wellengleichungen Vlasov-Materie
Schlagwörter
(Englisch)
Einstein equations singularity formation Cosmic Censorship wave equations Vlasov matter
Autor*innen
Liam Dylan Urban 
Haupttitel (Englisch)
On the Big Bang formation for cosmological solutions to non-vacuum Einstein equations
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
x, 278 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Lars Andersson ,
Florian Beyer
AC Nummer
AC17735352
Utheses ID
76817
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |