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Stability in continuous logic
Cezar Port
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Matthias Aschenbrenner
DOI
10.25365/thesis.78961
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-11504.51309.375345-3
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Arbeit präsentiert die Grundlagen der stetigen Modelltheorie, gibt eine Einführung in den Stabilitätsbegriff in der stetigen Logik, und beweist abschließend, dass die Theorie der atomfreien Wahrscheinlichkeitsalgebren ($APA$) $\aleph_0$-stabil ist. Für die Grundlagen verfolgen wir systematisch einen Ansatz über Typenräume. Viele stetige Gegenstücke zu den klassischen Sätzen der diskreten Modelltheorie werden bewiesen. Wir behandeln Themen wie Monstermodell, Definierbarkeit, Algebraizität, konservative Erweiterungen einer Theorie, Back-and-Forth-Systeme, und Quantorenelimination. Wir beweisen ein Lemma, das zeigt, dass Formeln durch unverschachtelte Formeln approximierbar sind. Dies ermöglicht wiederum elementarere Beweise für einige fundamentale Ergebnisse als die in \cite{yaacov2008model} gegebenen. Wir präsentieren drei verschiedene Beweise für den Fundamentalsatz der Stabilitätstheorie, welcher die Äquivalenz zwischen der Stabilität einer Formel $\varphi$ und der Definierbarkeit jedes $\varphi$-Typs besagt. Der erste Beweis ist neu und elementar und verwendet lediglich die Definition des Typbegriffs. Der zweite Beweis ist topologisch, und folgt der Darstellung in \cite{yaacov2014model}. Der dritte Beweis, der mir von Itaï Ben Yaacov übermittelt wurde, ist ein elementarer Ansatz, der auf Eigenschaften von Netzen in einem topologischen Raum basiert. Im letzten Teil der Arbeit geben wir eine Darstellung, mit vollständigen Beweisen, der grundlegenden Eigenschaften der stetigen Theorie der Wahrscheinlichkeitsalgebren $Pr$ wie in \cite{berenstein2023model}, mit kleinen Variationen. Wir liefern einen elementaren Beweis dafür, dass jede Wahrscheinlichkeitsalgebra als die einem Wahrscheinlichkeitsraum assoziierte Wahrscheinlichkeitsalgebra entsteht. Wir beweisen, dass jede Vervollständigung von $Pr$ QE erlaubt, separabel kategorisch ist, und dass jedes Modell von $Pr$ $\aleph_0$-saturiert ist. Dies ist sehr hilfreich für den abschließenden, vollständigen Beweis der $\aleph_0$-Stabilität von $APA$.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Modelltheorie Stetige Logik Stabilitätstheorie Atomlose Wahrscheinlichkeitsräume Atomlose Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitsalgebren Fundamentalsatz der Stabilität Stetige Modelltheorie
Schlagwörter
(Englisch)
Continuous Model Theory Continuous Logic Fundamental Theorem of Stability Probability Algebras Atomless Random Variables
Autor*innen
Cezar Port
Haupttitel (Englisch)
Stability in continuous logic
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
iii, 106 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Matthias Aschenbrenner
Klassifikation
31 Mathematik > 31.10 Mathematische Logik. Mengenlehre
AC Nummer
AC17605798
Utheses ID
76819
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |